Exercícios resolvidos de provas sobre média ,mediana e moda

A média , mediana e moda,são medidas de posição ou medidas de tendencia central que fazem parte de um ramo muito importante da estatística, que é a estatística descritiva .

A Estatística Descritiva permite-nos resumir, descrever e compreender os dados de uma distribuição usando medidas de tendência central (média, mediana e moda) e medidas de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância).

Muitas vezes , a média ,ela é um pouco injusta com a gente sabe porquê ?


Imagine o seguinte : Estamos em uma festa com duas pessoas(Pedro e Niko ) e só tem 2 bifes . Só que acontece o seguinte : o pedro por ser guloso vai escondido e come os 2 bifes...Em media ,cada um deles comeu um bife porque a média diz-nos que havia um bife para cada pessoa mas não nos diz como é que os bifes foram distribuídos.

Esta é uma das razões pelas quais os dados estatísticos que se apresentam em relatórios de investigação terem frequentemente duas ou mais medidas descritivas associadas. Por exemplo, o valor da Média (medida de tendência central) é frequentemente apresentado em associação com o valor do Desvio Padrão (medida de dispersão).

Média Aritmética simples

A média aritmética simples vai ser sempre igual ao somatório de todos os números divido pelo quanto que eles são.

Exemplo 1

Calcule a média de notas dos alunos da turma referida.

   Solução

Resposta : a média de notas dos alunos da turma A-1 é de 7.67

Média aritmética ponderada 

A média  ponderada é similar à média aritmética simples . A diferença, entretanto, é que na média aritmética  simples cada elemento a ser calculado contribui com o mesmo peso, enquanto que a média ponderada leva em consideração a relevância (peso) de cada termo, logo, existem termos que contribuem mais que outros no ato de calculá-la.


A média ponderada é igual ao somatório dos produtos dos valores divido pelo somatório dos pesos.

Exemplo 2

Um professor aplica o seguinte critério de avaliação para seus alunos: a prova tem peso 4, a lista de exercícios tem peso 2 e a apresentação de trabalho tem peso 4. Sabendo que um aluno obteve 5,0 na prova, 5,0 na lista de exercícios e obteve 8,0 na apresentação do trabalho, Qual é a média final desse aluno ?

Solução

A primeira coisa a fazer é associar o peso com a sua respectiva nota ,ou seja , o peso 4 da prova com 5,0 que o aluno obteve na prova, o peso 4 da apresentação com o 8,0 que obteve na apresentação da mesma, bem como , o peso 2 da lista de exercícios com o 5,0 que o aluno obteve .

Resumindo :   Somatórios de notas = 5,0*4 + 8,0*4 + 5,0*2 = 20+32+10 = 62 ,  Somatório de pesos = 4+4+2 = 10

Mediana

Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de observações for ímpar, a mediana será a observação central ou seja, será somente um único valor que fica no centro. Se o número de observações for par, a mediana será a média aritmética das duas observações centrais.

Exemplo

Em uma escola para idosos , foram registradas as seguintes idades : 65, 72, 70, 72, 60, 67, 69, 68.

Ordenando os valores temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 72. Como o número de observações é par, a mediana é dada pela média dos dois valores centrais que são 68 e 69, isto é:

Moda

É o número que mais aparece em uma distribuição ou conjunto de dados que temos para analisar.

Exemplo

Com os dados 3,3,4,7, a moda é Moda = 3

Com os dados 3,3,4,4,7, há duas modas: Moda = 3 e Moda = 4. Dizemos que é um conjunto de dados Bimodal.

Com os dados 3,4,7,9,13,16, não há Moda.

Exemplo

Qual é a moda entre os números 1,4,5,8,2,1 e 9 ?

Podemos perceber que todos aparecem uma vez exceto o número 1 que vem 2 vezes, então a nossa moda é o 1 .

Medidas de dispersão ( Variância e Desvio Padrão )

Variância

É igual ao somatórios dos quadrados das diferenças entre cada observação e a média aritmética delas dividido pelo número de observações.
Para o cálculo de variância utilizaremos a seguinte fórmula :

Obs: essa formula pode ser feita para qualquer número de observações ou valores..nessa fórmula colocamos para 3 elementos,mas ela é extensiva para 20,50,60 ou n observações.

Desvio Padrão

O Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância , ela indica o que em média os valores de uma observação se afastam pra cima ou pra baixo em relação a media aritmética calculada.

Exercício 1

Calcule a variância e o desvio padrão do seguinte aluno:

Solução

Primeiramente temos que calcular a média aritmética simples das observações.

   Cálculo da variância

  
   Continuando, vem que :

Cálculo do Desvio Padrão

Isso indica que o desvio das notas em relação à média é de 1.3 pontos.

Exercício 2

A tabela que se segue é demonstrativa do levantamento realizado por determinado batalhão de Polícia Militar, no que se refere às idades dos policiais integrantes do grupo especial desse batalhão:

Calcule a moda, média e mediana dessa distribuição .

    Solução

Cálculo da média

A gente sabe que a média é o somatório de todos os números divido pelo quanto que eles são, mas nesse caso os números, eles tem uma relação com alguma coisa,ou seja, números de policiais em relação a idade... por isso sempre que acontecer que os números são em relação a idade,sexo ,peso de cada notas ou então gols marcado em relação a x jogos e etc..devemos sempre utilizar a média ponderada

Continuando o exercício, teremos que :

Cálculo da moda

A moda é o número que mais aparece em uma distribuição ou conjunto de dados que temos para analisar. Então , nesse caso o número que mais aparece é o 30 porque se a gente observar a a idade de 30 anos é que mais aparece no batalhão com 25 policiais .

Cálculo da mediana

A mediana é o termo do meio quando colocamos todos em ordem do menor para o maior valor:

São 85 termos no total, o do meio é o termo de número 43, ou seja, 30 anos.

Exercício 3

Entre 100 números, vinte são 4, quarenta são 5, trinta são 6 e os restantes são 7. Determinar a média aritmética deste conjunto de números.

Solução

Devemos imediatamente entender o seguinte : eles são no total cem números e destes números, o 4 aparece em 20 momentos, o 5 aparece em 40 momentos, o 6 aparece em 30 momentos e o restante são 7 números que não sabemos quantas vezes aparecem. 

Mas se a gente somar os momentos teremos que 20+40+30 =90 momentos , então o restante aparece em 10 momentos porque temos 100 números . 

Como esses números estão relacionados a alguma coisa que neste caso é o número de vezes ou momentos que eles aparecem, temos que multiplicar o número e a quantidade de momentos que ele aparece


Agora vamos dar o xeque mate


Exercício 4

Considere que um grupo de alunos tenha tirado as seguintes notas em uma determinada matéria.

Pede-se :

A.4 - Determinar a média, mediana e moda

B.4 - Determinar a variância e o desvio padrão .

Solução A.4

Média

Mediana

A gente viu lá trás que quando o número de observações for par, a mediana será a média aritmética  das duas observações centrais quando colocamos todos os números em ordem do menor para o maior valor, ou seja :

Moda

A moda é o número que mais aparece em uma distribuição ou conjunto de dados que temos para analisar. Então , nesse caso o número que mais aparece é o 3.

Solução B.4

A Fórmula de variância(visto anteriormente) é dada por :

Substituindo (para 10 valores)

Continuando...

Para calcular o desvio padrão utilizaremos a seguinte fórmula

Com esse resultado, podemos concluir que o desvio das notas em relação à média é de 2,6 pontos.                                              
Exercício 5

Encontre a mediana dos seguintes dados :


Solução

Como no exemplo anterior, temos que começar por reorganizar os dados em ordem do menor para o maior.

Em seguida,vamos inspecionar os dados para encontrar o número que se encontra no meio.

Podemos ver que vamos acabar com dois números (4 e 5) no meio.

Neste caso podemos resolver a mediana, encontrando a média desses dois números da seguinte forma:

Exercício 6

Localizar a média do conjunto de idades na tabela abaixo


Solução

O primeiro passo é encontrar o número total de idades, que podemos chamar de n. Uma vez que vai ser tedioso para contar todas as idades, podemos encontrar n somando-se as frequências(o número de pessoas do conjunto dado).

Em seguida, precisamos encontrar a soma de todas as idades. Podemos fazer isso de duas maneiras: podemos acrescentar cada idade individual, que será um processo longo e tedioso; ou podemos usar a frequência para fazer as coisas mais rápido.

Uma vez que sabemos que a frequência representa quantos de que determinada idade existem, podemos apenas multiplicar cada idade pela sua frequência, e, em seguida, somar todos estes produtos.

O último passo é calcular a média dividindo o somatório por n

Exercício 7

Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98, 102, 100, 100, 99, 97, 96, 95, 99 e 100. Calcule as medidas de posição (média, mediana e moda) para o número de parafusos por caixa. 

Solução

Cálculo da média

Você lembra que a média aritmética simples vai ser sempre igual ao somatório de todos os números divido pelo quanto que eles são ? pois é, vamos aplicar esse conceito e buscar a solução

Cálculo da mediana

A mediana é o termo do meio quando colocamos todos em ordem do menor para o maior valor, portanto :

Ordenando os valores temos:

Como o número de observações é par, a mediana é dada pela média dos dois valores centrais que são 99 e 99, isto é:

Mediana = (99+99)/2 = 99

Cálculo da moda

A moda é o número que mais aparece em uma distribuição ou conjunto de dados que temos para analisar.

Moda = 100

FAÇA A PROVA OU SIMULADO  

Cada questão da prova vale 5 pontos .

Questão 1

Se o exame final em um curso de engenharia tem peso 3 e as provas correntes peso 1, e um estudante obteve 85 pontos naquele exame, 70 e 90 nas provas. Determine sua média.

SOLUÇÃO

Questão 2

Em uma companhia francesa que tem 80 operários, 60 recebem 60 euros e 20 recebem 40 euros, por hora. Determine o salário médio por hora.

SOLUÇÃO

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