Definição
A Integral definida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite inferior e um valor final que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral definida entre a e b é a integral indefinida em b menos a integral indefinida em a .
A integral indefinida e a integral definida se diferem em dois aspetos :
Exemplo 6
A Integral definida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite inferior e um valor final que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral definida entre a e b é a integral indefinida em b menos a integral indefinida em a .
Teorema fundamental do cálculo
Muitas vezes , a gente ouve falar do teorema fundamental do cálculo e tem dificuldade de entender, porque nem todo professor tem paciência de explicar todo esse trem , mas vamos nessa !
O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são inversas uma da outra . Isto quer dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original.
Exemplo :Seja f(x)=2x, Calcule a sua integral e derive o resultado para chegar a função original 2x.
Sabendo que a constante c é um número , vamos derivar o resultado para chegar no função original.
Depois dessa demonstração , podemos afirmar que o teorema foi provado e comprovado.
Esse teorema fundamental afirma que :
Se f for continua em [a,b] e se F for uma antiderivada de f em [a,b] então :
Lembre-se que, quando falamos de uma antiderivada para uma função, estamos realmente falando sobre a integral indefinida para a função.
Diferenças entre uma integral indefinida e definida
- A integral indefinida não possui limites de integração que são os valores a e b, enquanto que essa é uma caraterística da integral definida;
- O resultado final de uma integral indefinida é uma função ex : integral de 3dx = 3x ,enquanto que o resultado final de uma integral definida é um número ex: 27 .
Aplicações da integral definida
A integral definida possui as seguintes aplicações :
Cálculo de Área, volume por anéis cilíndricos , sólidos de revolução e etc.
Exemplo 1
Solução
Primeiro vamos calcular a antiderivada de x e depois substituir os 2 limites de integração
Continuando o exercício , vem :
Exemplo 2
Solução
Como temos uma soma no numerador vamos separar
Em matemática 1/x é mesma coisa que x elevado a menos 1, portanto :
Continuando...
Dando sequência no exercício teremos...
Agora vamos substituir os limites [1,4]
Exemplo 3
Solução
A primeira coisa a fazer é passar a constante para fora da integral e depois vamos passar a raiz do x como x elevado a menos 1/2,que é a mesma coisa.
Agora vamos seguir resolvendo...
Continuando...
Agora vamos dar um cheque-mate no exercício
Exemplo 4
Solução
Vamos colocar a constante fora da integral
Agora vamos substituir os limites
Exemplo 5
Solução
Olhando para este exercício, devemos primeiro desenvolver o quadrado do integrando.
Em seguida aplicamos em cada termo a regra da potência :
Substituindo , vem :
Exemplo 6
Solução
Já que a integral da soma é a soma das integrais , teremos o seguinte:
Continuando o exercício ....
Agora vamos substituir os limites de integração
Dando continuidade , teremos :
Exemplo 7
Solução
Já que o denominador é uma raiz e partindo do principio de que raiz de t ,é igual a t elevado a 1/2, teremos o seguinte :
Agora vamos multiplicar o t elevado a menos 1/2 pelo que tá dentro de parêntesis
Continuando ...
Substituindo os limites de integração, teremos :
Continuando ...
Exemplo 8
Solução
Exemplo 9
Solução
Primeiramente vamos passar o denominador no outro lado para multiplicar o numerador .
Em seguida, aplicamos em cada termo a regra da potência
Continuando...
Agora vamos substituir os limites de integração
Exemplo 9
Solução
Faça o Simulado abaixo
Pôxa, uma verdadeira aula. parece até que o professor estava em minha frente. Acho que até uma criança que sabe ler vai aprender integral.(RSRSRSRSRSRS)
ResponderExcluirRrsrsrs...Agradecemos seu comentário...volte sempre !
ExcluirComo calcula esse exercício? A utilização de um certo equipamento gera uma receita a uma taxa de R(x) unidades monetárias por mês, após terem decorridos x meses da sua instalação,e R(x) = 1.400 − 2x². Se o custo de operação e manutenção do equipamento for C(x) unidades monetárias por mês, onde C(x) = 200 + x², ache o lucro obtido com a utilização do equipamento durante 20 meses. Represente graficamente a região do lucro.
ResponderExcluirComo calcula esse exercício? Para um certo mercado comprador varejista está determinado que se x for o número diário de comerciais na televisão y for o número de minutos de duração de cada comercial e z for o número de unidades vendidas diariamente, então z = 2xy² + x² + 9.000. Suponha que no momento presente haja 12 comerciais, cada um com um minuto de duração por dia. Encontre a taxa de variação instantânea de z por unidade de variação em x se y permanecer fixo em 1.
ResponderExcluirComo calcula esse exercício? O administrador de uma rede de casas noturnas recebeu uma remessa de um certo gênero alimentício toda segunda-feira. Como a freqüência é baixa no começo da semana e alta no fim de semana, a demanda aumenta com o decorrer dos 7 dias; assim, após x dias o estoque é de y unidades, onde y = 49.000 – 1.000x². Se o armazenamento diário custa R$ 0,03 por unidade, encontre o custo total para manter o estique por 7 dias.
ResponderExcluirParabéns colegas!
ResponderExcluirMuito bem apresentado e bem detalhado.
Opa! que bom colega...Obrigado pelo feedback. Seu reconhecimento é o combustível para esse trabalho
ExcluirYour style is so unique compared to other folks I've read stuff from. I appreciate you for posting when you've got the opportunity, Guess I'll just book mark this site. all of craigslist
ResponderExcluirestes exercícios precisa muita atenção!!
ResponderExcluirParabéns pelo site muito bom.
ResponderExcluircom se cadastrar os meus dados nao sao compativeis porque?sao tantas tentativas nada tenho acesso
ResponderExcluirJá estamos em 2021, em plena pandemia do novo coronavírus, e o seu material continua firme em seus objetivos. Aprendi algo que estava tentando entender mas não conseguia. Gostei muito do material! Bem objetivo e claro. Desse jeito, integrais se torna um bebê!!! Kkkkkkkkkkk. Agradeço muito!!!
ResponderExcluirgostei da explicação e exercicios, mas queris baixar o arquivo ou copiar, mas não tem a opção :(
ResponderExcluirExcelente! muito obrigada por compartilhar.
ResponderExcluirbom dia é legal colocar exemplo com as trigonometria que é o que é sempre pedido nas provas
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