Tudo sobre a regra da cadeia para derivadas e exercícios resolvidos

Em estudos de cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para calcular a derivada da composição de duas ou mais funções.

Imagina o seguinte ('é só para imaginar Okay '?,beleza ):

Temos uma função f(z)=( 3z+3)^3 e queremos calcular a derivada f '(z).

Analisando está função , podemos notar que teremos duas opções para calcular ela :

Opção 1 (Vamos desenvolver a função e depois calcular a sua derivada)

A primeira opção seria desenvolver ela : f(z)=( 3z+3)^2 .( 3z+3) = 9z^2 +18z+9.( 3z+3), a função desenvolvida será : f(z) = 27z^3+27z^2 +54z^2 +54z+27z+27 = 27z^3 +81z^2 +81z+27 

Agora vamos calcular a derivada :

f '(z) = 81z^2 +162z+81

Opção 2 (Vamos aplicar a regra da cadeia)

A segunda opção seria calcular a derivada usando a regra da cadeia que é mais objetiva 

f ' (z) = 3.(3z+3)^3-1 .(3z+3)' = 3(3z+3)^2  .3 = 9(3z+3)^2

Mas, o resultado da opção 1 e da opção 2 , são iguais ? claro que sim .

Para provar isso vamos desenvolver o resultado da segunda opção

f ' (z) =9 [(3z+3)(3z+3)] = 9[9z^2 +9z+9z+9] = 9[9z^2+18z+9] =81z^2 +162z+81

Nota importante

Foi por esse tipo de exercício acima supracitado e tantos outros que vamos aprender aqui,  que fez com que em 1676 o grande e monstruoso filósofo, cientista, matemático, diplomata e bibliotecário alemão Gottfried Leibniz desenvolvesse a regra da cadeia para calcular a derivada de funções compostas , ou seja :

Se y = f (u) , u = g (x), e as derivadas dy/ du e du/dx existem, ambas , então a função composta definida por y = f [g(x)] tem a derivada dada por : dy/dx ou y ' = f ' [g(x)]. u'

Resumidamente

A regra da cadeia nos diz que para derivar uma função composta ,  primeiro temos diferenciar a camada exterior, deixando a camada interna inalterada (o termo f '(g (x )), e em seguida, diferenciar a camada interna (o termo g '(x)).

 Este processo se tornará mais claro resolvendo os problemas. Na maioria dos casos, as respostas finais são dadas na sua forma mais simplificada.

Exemplo 1 - Determinar dy/dx se :

Solução

Vamos reescrever essa função

Agora vamos derivar a função

Continuando ...

Finalizando...

É importante saber que para derivadas simples :

E para a regra da cadeia :

Exemplo 2 - Determinar f ' se :

Solução : 

Substituindo , vem :

Exemplo 3 - Determinar dy/dx se :

Solução

Temos uma constante  dividindo uma função ,e neste caso a ferramenta a utilizar é a regra do recíproco para uma função composta .

Mas a gente tem que saber o seguinte :

Agora sim , vamos substituir na fórmula

Continuando...

Até nesse momento a gente deu um grande passo , mas vamos lá ...

Obs:Já que temos a mesma função no numerador e denominador,cancelamos o numerador e subtraímos o 2 no expoente do denominador porque ele é de maior grau.

 Exemplo 4 - Determinar f '(x) se :

Solução : primeiramente ,vamos reescrever a função

Sabendo que :

Teremos o seguinte :

Continuando...

Agora vamos utilizar uma técnica matemática que afirma o seguinte :

voltando ao exercício , teremos :

Finalizando , vem :

 Exemplo 5 - Determinar f '(z) se :

Solução

Vamos aplicar  a regra do produto que afirma o seguinte :

Substituindo , teremos :

Podemos notar que algo está ficando top, ou seja, estamos no bom caminho

Agora sim ...o exercício está uma beleza

Finalizando...

 Exemplo 6 - Determinar f '(v) se :

Solução

Substituindo , teremos:

Agora sim , o exercício está legal ...só falta dar o xeque mate

Exemplo 7: Determinar f '(x) se :

Solução

Temos uma constante , dividindo uma função e para este caso ,vamos utilizar a regra do reciproco. 

Continuando o exercício, teremos :

Finalizando o exercício...

Exemplo 8: Calcule f '(x) ,onde :

  Solução