Pular para o conteúdo principal

Exercícios resolvidos de provas sobre integrais indefinidas utilizando o método de substituição ou mudança de variáveis

Existem exercícios em integrais ,que não são possíveis de serem resolvidos, sem antes utilizar o método da substituição (que vamos aprender agora) ou o método de integração por partes (que veremos em outras ocasiões) .


Inúmeras vezes os professores passam essa técnica que por sinal é valiosíssima para o estudo de cálculo, mas os alunos ficam com dificuldades em utilizar na hora H, principalmente quando a gente tem a integral na prova e não sabe que método utilizar,quando utilizar e por quê utilizar esse e não o outro.


Digo isso por que, quando o professor passava métodos como : o método de substituição e o método de integração por partes, eu chegava na prova e o professor simplesmente colocava por exemplo :

Calcule a integral dada 
.
Na maioria das vezes , eu não sabia resolver..porque era complicado pra mim, entender que ferramenta usar ,até que um dia eu passei a perguntar o por quê disso e não daquilo e aí o conhecimento foi fluindo naturalmente .



Dicas do velho Maromba

  • Se você analisar,no estudo de integrais indefinidas, temos 3 teoremas que são : de uma contante que multiplica uma função, o teorema da soma e o da diferença (ver aula anterior http://factosfera.blogspot.com.br/search/label/C%C3%A1lculo%201 )...mas aí a gente vê que tá faltando outras operações como o produto de funções e ou a divisão das mesmas.
  •  Tendo em conta o item anterior, a partir do momento que não temos o produto ou divisão de funções nos teoremas, surgiu a necessidade de criar um método que resolvesse essa deficiência que os teoremas tinham , de não resolverem praticamente todos os problemas que tivessem outras operações matemáticas como o produto de funções , bem como a divisão das mesmas ...e aí surgiu o método da substituição, para resolver integrais que contenham produto ou divisão de funções , bem como integrais que envolvem raízes . Ela consiste em introduzir uma nova variável que é a variável u, que ao derivar (du), encontramos uma função parecida com a outra.
Calcule as integrais

Exercício 1

Solução

Neste exemplo,temos a multiplicação de duas funções e, em todos os casos em que você se deparar com uma integral que envolve um produto, temos que escolher o u , como sendo a função que ao derivar , vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função .
,
Podemos notar que ao derivar o u, encontramos uma função du com o mesmo grau da outra, que no caso é x ao quadrado....depois disso,a gente pode notar que para o du ser igual a outra função, temos que passar o passar o 6, pra ser um denominador de du e com isso a gente da um grande passo.

Substituindo na integral, vem

Sempre que a gente for tirar uma variável da integral(x,y,z,u,v etc), tem que somar um no expoente e botar esse mesmo expoente que foi somado no denominador

Como essa integral é indefinida , temos que somar a constante de integração C

Exercício 2


Vendo esse tipo de problema, a gente tem que fazer duas perguntas .

Dá pra utilizar o método da substituição ? sim.

Por quê ? por que temos um produto entre duas funções e existe uma função entre essas duas que se a gente chamar de u e derivar vamos encontrar o mesmo expoente da outra função e aí é só usar o que a gente aprendeu no Exercício 1

Solução

Neste exemplo,temos a multiplicação de duas funções ( o x ao quadrado multiplicando outra função que está na raiz,que vamos chamar de u) e em todos os casos em que você se deparar com uma integral que envolve um produto, temos que escolher o U , como sendo a função que ao derivar , vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função .
;
Podemos notar que ao derivar o u, encontramos uma função du com o mesmo grau da outra, que no caso é x ao quadrado....depois disso,a gente pode notar que para o du ser igual a outra função, temos que passar o passar o 9, pra ser um denominador de du.
Substituindo na integral, vem
Pra melhor entendimento vamos passar o x ao quadrado ,pra ficar ao lado de dx
Portanto

Agora podemos pegar o Índice e aplicar a regra básica da radiciação ( toda variável sempre tem expoente 1, só que não se coloca, mas ele está lá esperando que a gente faça alguma coisa com ele).
Continuando ( não esqueçam nunca dessa regra de radiciação)
Sempre que a gente for tirar uma variável da integral(x,y,z,u,v etc), tem que somar um no expoente e botar esse mesmo expoente que foi somado no denominador

Como o 4/3 tá dividindo ,podemos passar ele no outro lado e multiplicar...para isso devemos sempre inverter o numerador e o denominador, trocando de posição
Pra ficar um pouco mais lindo , podemos dividir o 3 e o 36 por 3, ficando :
Exercício 3
Solução

Neste exemplo,temos a multiplicação de duas funções ( o x à terceira multiplicando outra função que é trigonométrica que tem como angulo o x à quarta + 2 , que vamos chamar de u) e, em todos os casos em que você se deparar com uma integral que envolve um produto, temos que escolher o u, como sendo a função que ao derivar , vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função.
;
Podemos notar que ao derivar o u, encontramos uma função du com o mesmo grau da outra, que no caso é x à terceira....depois disso,a gente pode notar que para o du ser igual a outra função, temos que passar o passar o 4, pra ser um denominador de du.

Para melhor entendimento vamos passar o x à terceira ,pra ficar ao lado de dx,refazendo a integral (nesse caso, a ordem não vai alterar o resultado )

Substituindo na integral, vem

Utilizando a tabela de integrais , a gente tem que a integral de cos u, é sen u
OBS: a ideia por trás da regra da substituição é substituir uma integral relativamente complicada por uma mais simples, mudando-se da variável original x para uma nova variável u, que é uma função de x.

Exercício 4


Solução

Neste exemplo,temos a divisão de duas funções e, em todos os casos em que você se deparar com uma integral que envolve uma divisão (Quociente), temos que escolher o u, como sendo a função que ao derivar, a sua variável x vai ser igual com a outra função ou seja, vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função.
;

Substituindo na integral, vem
veja que xdx é igual a du, então fica :

Aplicando uma regra básica da matemática ,vem


Exercício 5

Solução

Muita gente erra esse exercício de integral que por sinal é muito fácil, por pegar o problema e resolver diretamente como se na tabela de integrais (ver seção anterior) tivesse integral desse jeito.

Sabendo que não temos essa integral na tabela , devemos procurar encontrar uma solução que só será possível utilizando o método de substituição.

Vamos chamar de u , o 3x (que é o angulo da função cosseno ) que o problema fica resolvido .
;

Substituindo na integral, vem


Exercício 6

Solução
Seguindo o mesmo raciocínio dos exercícios anteriores, vem que :

Substituindo na integral

Como a integral de uma exponencial é ela mesma ou seja, não muda nunca...podemos concluir que :

Exercício 7

Solução

Neste exemplo,temos a multiplicação de duas funções e podemos notar que temos que ao escolher o u , como sendo a função que tá dentro da raiz,ao derivar ela vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função.

Refazendo a integral

Substituindo



Exercício 8

Solução

-temos a multiplicação de duas funções,e sabemos que se a gente derivar uma das funções e encontrar um valor de x igual da outra função, podemos aplicar a técnica, então :

Depois de achar o u e du vamos substituir na integral dada,mas antes disso vamos trocar a posição do 4x pra facilitar a visualização

Agora sim, vamos lá substituir essa bagaça rsrs

Pela tabela, a integral de cos u é igual a sen u,então:

Exercício 9

Solução

-temos a divisão de duas funções,e sabemos que se a gente derivar uma das funções e encontrar um valor de x igual da outra função, podemos aplicar a técnica, então :

Vamos escolher o nosso u como sendo o Denominador

Substituindo o u e du na integral, vem :

Consultando a tabela de integrais a gente pode notar que 1/u é igual ao ln de u.

Exercício 10
Solução

-temos a multiplicação de duas funções,e sabemos que se a gente derivar uma das funções e encontrar um valor de x igual da outra função(mesmo grau), podemos aplicar a técnica, então :
A gente pode notar que numa multiplicação de funções o u sempre terá o x com um grau maior que a outra função.

Substituindo o u e du na integral, vem :

Sabendo que a integral de sen u é igual a -cos u, teremos :

Continuando...
Exercício 11

Solução

-Novamente temos a multiplicação de duas funções,e sabemos que se a gente derivar uma das funções e encontrar um valor de x igual da outra função(mesmo grau), podemos aplicar a técnica, então :

Substituindo o u e du na integral, vem :

Continuando...
Foi útil ? Ajude a crescer ,clique no G+1 para recomendar isto publicamente

Comentários

  1. gostaria de sabe se usando a integral por partes eu chegaria tbm ao mesmo resultado (so que mais trabalhoso) ou nesses caso so da pra usa substituição???? otimo trabalho com o site me ajuda muito^^

    ResponderExcluir
  2. Eu queria mt salvar o arquivo pra fazer os exercícios e depois conferir ... seria mt legal que vc disponibilizasse em PDF ...

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Okay Leticia !
      Obrigado pelo feedback...Vamos trabalhar para isso

      Excluir
  3. Muito agradeço, porque eu ja terminei tudo mais facilmente e espero até ao proximo exercícios, Abração......

    ResponderExcluir
  4. Muito agradeço, porque eu ja terminei tudo mais facilmente e espero até ao proximo exercícios, Abração......

    ResponderExcluir
  5. Obrigado, graças a você consegui compreender o assunto mais claramente

    ResponderExcluir
  6. Muito legal os exercícios, me ajudou bastante, meus parabéns à equipe!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá PH ! Obrigado pelo feedback amigo. Vamos continuar dando o nosso melhor, para tornar compreensível e fácil os diversos assuntos científicos.

      Excluir
  7. Pode parecer que não, mas a sacada de falar o porque de aplicar outros métodos para resolver integrais, visto que na resolução das integrais só temos aqueles três teoremas, foi o pulo do gato para compreendermos muitíssimo melhor o método.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Agradecemos seu feedback. É importante para nós melhorarmos cada vez mais.

      Excluir

Postar um comentário

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

Postagens mais visitadas deste blog

Exercícios resolvidos de provas sobre média ,mediana e moda

A média , mediana e moda,são medidas de posição ou medidas de tendencia central que fazem parte de um ramo muito importante da estatística, que é a estatística descritiva .

A Estatística Descritiva permite-nos resumir, descrever e compreender os dados de uma distribuição usando medidas de tendência central (média, mediana e moda) e medidas de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância).

Muitas vezes , a média ,ela é um pouco injusta com a gente sabe porquê ?


Imagine o seguinte : Estamos em uma festa com duas pessoas(Pedro e Niko ) e só tem 2 bifes . Só que acontece o seguinte : o pedro por ser guloso vai escondido e come os 2 bifes...Em media ,cada um deles comeu um bife porque a média diz-nos que havia um bife para cada pessoa mas não nos diz como é que os bifes foram distribuídos.

Esta é uma das razões pelas quais os dados estatísticos que se apresentam em relatórios de investigação terem frequentemente duas ou mais medidas descritivas associadas. Por exemplo, o v…

Exercícios resolvidos de provas sobre espaço amostral e probabilidade de um evento

Esta lista de exercícios , é resultado de um estudo amplo com o objetivo de descomplicar a análise de espaço amostral e probabilidade de eventos sem utilizar aqueles métodos como Diagrama em árvore e tabela de dupla entrada (produto cartesiano) que muitos professores utilizam para dificultar um pouco o entendimento de probabilidade.

Os exercícios estão divididos em 3 seções : Seção de exercícios Básicos ,Seção de exercícios com um certo grau de dificuldade e uma seção sobre prova teste ou simulado.

Definições

Espaço amostral (S) 
É o espaço de amostragem de todos os elementos de um experimento probabilístico .
Por exemplo: no lançamento de uma moeda,os elementos pertencentes a uma moeda, são : a cara e a coroa, somente é possível obter ou cara ou coroa e o nosso espaço amostral será : S={ cara, coroa }, um outro exemplo bacana é o lançamento de um dado que pegando o mesmo raciocino , todos os elementos pertencentes a um determinado dado, são os números { 1,2,3,4,5,6 } que estarão for…

Tudo sobre integrais definidas e exercícios resolvidos com comentários

Definição

A Integral definida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite inferior e um valor final que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral definida entre a e b é a integral indefinida em b menos a integral indefinida em a .

Teorema fundamental do cálculo
Muitas vezes , a gente ouve falar do teorema fundamental do cálculo e tem dificuldade de entender, porque nem todo professor tem paciência de explicar todo esse trem , mas vamos nessa !
O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são inversas uma da outra . Isto quer dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. 
Exemplo :Seja f(x)=2x, Calcule a sua integral  e derive o  resultado para chegar a função original 2x.
Sabendo que a constante c é um número , vamos derivar o resultado para chegar no função original.
Depois dessa demonstração , …

Exercícios resolvidos de provas sobre derivadas aplicando as regras de diferenciação

Para calcular a derivada de uma função que seja derivável, em determinado ponto do seu domínio, podemos sempre usar a definição.

Mas, dependendo da função, isto pode significar bastante trabalho e pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando assim complicados cálculos de limites.

Em que consistem as regras de derivação ?
Resumidamente podemos afirmar que se o cálculo de derivadas usando a definição é meio complexo e gasta mais tempo , usando as regras de diferenciação as coisas ficam um pouco mais tranquilas devido a rapidez na execução e obtenção dos resultados.

Entretanto, aplicar as regras de derivação consiste em usar estes conhecimentos para, a partir das derivadas de funções mais simples, determinar as derivadas de funções que delas se obtêm por meio das operações.

Simbologia
A derivada de uma função f, na variável x , é uma função, que representamos por f ' .
Regras a seguir :
Sejam f e g funções diferenciáveis : 
Está regra afirma que a derivada de uma constante…

Exercícios resolvidos de provas com comentários sobre distribuição binomial

"Em nossas loucas tentativas, renunciamos ao que somos pelo que esperamos ser".William Shakespeare

Antes de entrar no assunto principal vamos entender o que é fatorial de um número que tem como simbolo o n!

Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.

Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 .

Solução

0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.


O que é uma distribuição binomial?

Em estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos numa sequência de n tentativas.

O que devemos saber sobre essa distribuição?

Vamos entender as caraterísticas de um experimento binomial

Um experimento binomial é um ensaio estatíst…

Tudo sobre a distribuição de Poisson e exercícios resolvidos com comentários

O que é uma distribuição de Poisson ?

A distribuição de Poisson é um tipo de distribuição discreta de probabilidade aplicável as ocorrências de um vento que se difere da distribuição binomial porque ela ocorre num intervalo temporal ou numa região espacial especifico como: tempo,distancia ,área,volume e etc.

O que devemos saber afinal ?

Quando estamos perante um exercício de estatística sobre probabilidades, a dificuldade principal muitas das vezes não é dar solução ao exercício, mas saber qual tipo de distribuição utilizar, quando utilizar e etc.

Mas agora o "velho Maromba" vai dar umas dicas sobre este tipo de distribuição.

- Na distribuição de Poisson , a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente Zero ;
- O nº médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço é constante ao longo do tempo ou espaço ;

- O nº de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo e quanto maior o intervalo, maior o nº de oc…