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Exercícios resolvidos de provas sobre integrais por partes

A nossa viagem começa na Definição

O método de integração por partes é uma técnica de integração utilizada para dar solução aos exercícios de integrais que envolvem uma multiplicação de funções.

Em que exercícios devemos aplicar esse método?


O método de integração por partes deve ser aplicado em exercícios só e somente se, temos uma multiplicação de duas funções nos casos em que mesmo derivando uma das funções , a sua derivada não será de nenhum jeito igual a outra função.

Exemplo


Temos a multiplicação de duas funções .Utilizando o método de substituição, se a gente chamar de u a nossa variável x , ao derivar ela teremos : u=x , du = dx

O nosso du é totalmente diferente da outra função exponencial elevada a x.

A gente pode notar que não tem como sumir com uma das funções utilizando a substituição de variáveis ou seja , não tem como derivar a função exponencial e encontrar o x, bem como do mesmo jeito não tem como como derivar o x e encontrar a função exponencial.

O que devemos saber afinal?


O método de integração por partes é uma ferramenta importante no estudo de cálculo mas devemos sempre ter alguns cuidados como :

  1. Não devemos utilizar esse método em integrais que envolve uma divisão de funções,
  2. No exercício dado pelo professor, devemos escolher adequadamente o u senão já era; 
  3. O nosso dv sempre será a função mais complicada da integral; 
Fórmula de integração por partes


A integral de udv é igual a uv menos a integral de vdu.

Como este processo implica em separar o integrando em duas partes : u e dv,é importante a escolha adequada de u ,utilizando sempre a tabela LIATE onde :
Sempre que a gente tiver a multiplicação de duas funções que estão ali na tabela, as prioridades para escolher o u vai da esquerda a direita.
Durante os exercícios irei escrever o v em letra maiúscula para não ser confundido com o u.

Calcule as integrais dadas.



EXERCÍCIO 1


- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv



Já que o u=x ,o dv será a outra função
  
  • O v sempre vai ser igual a integral de dv; 
  • A integral de uma exponencial é ela mesma.
Substituindo na fórmula

EXERCÍCIO 2

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv.
De acordo com a nossa tabela acima, o u tem que ser o x.

Se u=x , o nosso dv tem que ser o cos(x)
Substituindo na fórmula
De acordo com a tabela, a integral de sen(x) é -cos(x)

EXERCÍCIO 3

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv
A função trigonométrica vamos chamar de dv
Agora que temos o dv vamos integra-lo para achar o v
Se fosse integral de cosx simplesmente poderíamos encontrar o senx , mas a gente não tem essa integral de cos(5x) na tabela, então temos que aplicar o método de substituição nela.

Agora vamos passar o 5 no outro membro
Substituindo as variáveis u e du na integral ,vem:
Já que a integral de cos u é sen u , teremos:
Depois desse trabalhão,agora é só substituir o u,v e o dv na fórmula de integração por partes
Substituindo
 
Passando o 1/5 fora da integral e aplicando a substituição no sen(5x)dx, a gente pode concluir que :

EXERCÍCIO 4 


É muito recomendável entender este exercício que vamos aprender agora,porque ele ilustra uma outra maneira de calcular integral aplicando duas vezes a fórmula de integração por partes. "Força e Coragem "

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv e de acordo com a nossa tabela acima, o u tem que ser a algébrica que vai ser(x ao quadrado) e o dv vai ser a exponencial.

Achar o du
Agora vamos encontrar o v através de dv

A gente pode notar que precisamos aplicar o método da substituição para encontrar o v porque não temos essa integral na tabela:
Substituindo na integral do v,teremos :
Agora vamos passar o 2 para fora da integral e utilizar o conceito de que a integral de uma exponencial é ela mesma.
Agora vamos substituir o u,du e dv na fórmula de integração
Para calcular a integral no membro direito da última equação, devemos novamente integrar por partes.
Essa nova integral vamos chamar de A.1
Chamando a nova integral de A.1 a integral A fica :
Calculando a integral A.1, vem:
E o nosso dv será :
Para encontrarmos o valor de v temos que aplicar a substituição de variáveis u.du (como nos exercícios anteriores),teremos :

Substituindo na integral A.1
Na integral no membro direito da última equação, passamos o 1/2 pra fora e aplicamos novamente a substituição no Euler elevado a 2x.
Então temos que A.1 será :
Finalmente podemos substituir na integral A o resultado de A.1
Assim teremos :


EXERCÍCIO 5
- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv.
A outra função que chamaremos de dv será :
Já que o V é igual a Euler na menos 1, temos que aplicar substituição (" não temos essa função na tabela de integrais")
depois de achar o u e du, teremos que V será igual:
Substituindo o u,v e dv na fórmula de integração fica :
Continuando...
Para calcular a integral no membro direito da última equação, devemos novamente integrar por substituição,do mesmo jeito que a gente fez a pouco tempo, então:



EXERCÍCIO 6
Vamos dar um jeito de botar nessa fórmula
O primeiro passo para botar nessa fórmula é escolher adequadamente o u . Para isto a gente deve simplesmente obedecer a tabela LIATE .

De acordo com a tabela a nossa função logarítmica(ln)será o nosso u e a outra função, no caso a função raiz de x vai ser o dv
Agora vamos encontrar o v através do dv
Vamos integrar o dv para encontrar o v
Substituindo o u,v e dv teremos
Continuando...
Ao simplificar o x , tem que subtrair os expoentes
Já já a gente termina rsrs
Bons estudos !

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Comentários

  1. Muito bom, obrigada!

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    1. Nós é que agradecemos a sua visita...volte sempre e curta nossa página no Facebook

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  2. Obrigada! Me ajudou bastante!

    ResponderExcluir
  3. Muito bom o material, ajudou bastante!

    Só gostaria de saber no exercício 3 pq ficou "+cos5x/25". Eu com minhas burrices não saquei esse 25 rs

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    1. Obrigado por comentar! vamos lá.

      Se aplicarmos o método da substituição na última integral que é a do sen(5x)dx teremos : u=5x , du=5dx...passando o 5 no outro membro fica : du/5=dx ...depois de substituir o u e o dx no próximo passo temos que calcular a integral de senudu que é -cosu ,como o sinal que antecede a integral é negativo,teremos negativo com negativo que vai dar positivo.

      Excluir
  4. Não respondeu a pergunta dele, O porquê do 25?

    ResponderExcluir
  5. Já compartilhei no meu face: Muito top!

    ResponderExcluir
  6. show de bola! muito bom, virei fã do site!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado pelo feedback...É uma recompensa muito grande para a gente, saber que estamos de algum jeito ajudando pessoas. Bons estudos, take care!

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  7. Cara, ajudou-me muito!

    Valeu!!!

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