Tudo sobre exercícios resolvidos de integrais definidas utilizando o método da substituição de variáveis

O método de substituição estabelecido para integrais indefinidas pode também ser usado para calcular uma integral definida .

Existem 2 métodos para se calcular uma integral definida por substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e então usar o Teorema fundamental de cálculo. O outro método, usualmente preferível e as vezes mais rápido , consiste em mudar os limites de integração ao se variar a variável

Exemplo 1 

Solução

 Vamos calcular pelo segundo método que é muito mais fácil.

Agora vamos chamar a função que está dentro da raiz como sendo o u

u = 2x + 1 , du = 2dx então du/2 =dx

Em seguida vamos calcular o valor de u=2x+1 que correspondem aos limites de integração x=0 e x=4

u(4)= 2*4 +1 = 9;

u(0)= 2*0 +1 =1.

Agora vamos passar o denominador a multiplicar o numerador  e mudar os limites de integração

Agora vamos substituir os limites de integração trocando o u pelos limites 1 e 9

Continuando o exercício teremos,

Exemplo 2

Solução

Vamos começar escrevendo a integral como :

O teorema de integral afirma que toda integral que tenha divisão de funções , devemos utilizar o método da substituição de variáveis (udu).

u = 5x-1 , du = 5dx então , du/5 =dx

Substituindo na expressão , vem :

Depois disso, vamos calcular em seguida os valores de u = 5x - 1 que correspondem aos limites de integração x=2 e x= 10

Para x=2, u=5*2 - 1 = 9 ;

Para x=10, u=5*10 - 1 = 49 .

Agora  temos que mudar os limites  de integração 

Vamos aplicar em cada termo a regra da potência

 Continuando...

Agora vamos substituir os limites de integração

Exemplo 3

Solução

Sempre que temos a integral de uma raiz de uma função qualquer devemos aplicar o método da substituição de variáveis (udu).

u= 5-x , du = -dx então : - du=dx

Agora vamos substituir na integral 

Em seguida vamos calcular os valores de u = 5-x  que correspondem aos limites de integração x=1 e x=4 .

Para x=1 o u será : u  = 5-1=4 ;

Para x= 4 o u será : u= 5-4 = 1.

Agora  temos que mudar os limites  de integração 

Continuando...

Substituindo os limites de integração , vem :

Concluindo

Exemplo 4

Solução

Temos a integral de uma função que sugere a substituição de variáveis :

Agora vamos substituir na integral

Em seguida vamos calcular os valores de u =  v ao quadrado -1 que correspondem aos limites de integração x= -1 e x=1 .

Para x= -1 o u será : u  = 1-1 =0 ;

Para x= 1 o u será : u= 1-1 = 0.

Agora  temos que mudar os limites  de integração 

Substituindo os limites de integração , vem :

Exemplo 5

Solução

Podemos resolver este problema fazendo a substituição de variáveis (udu)

 u= 2x + 3  , du = 2dx então du/2 = dx

Agora vamos substituir as variáveis

Em seguida vamos calcular os valores de u = 2x+3 que correspondem aos limites de integração x= -1 e x=0 .

Para x= -1 a variável  u será : u  = 2*(-1) + 3 = 1;

Para x= 0  a variável u será : u= 2*0 + 3 = 3.

Agora  temos que mudar os limites  de integração

Continuando....

Substituindo os limites de integração , vem :

Exemplo 6

Solução

Podemos resolver este problema fazendo a substituição de variáveis (udu)

Agora vamos substituir as variáveis

Em seguida vamos calcular os valores de u  que correspondem aos limites  x= Pi e x=Pi/2 .

Agora  temos que mudar os limites  de integração

Substituindo os limites de integração , vem :

SÊ FORTE E CORAJOSO