Tudo sobre exercícios resolvidos de integrais definidas utilizando o método da substituição de variáveis
O método de substituição estabelecido para integrais indefinidas pode também ser usado para calcular uma integral definida .
Existem 2 métodos para se calcular uma integral definida por substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e então usar o Teorema fundamental de cálculo. O outro método, usualmente preferível e as vezes mais rápido , consiste em mudar os limites de integração ao se variar a variável























Exemplo 5



Exemplo 6




Existem 2 métodos para se calcular uma integral definida por substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e então usar o Teorema fundamental de cálculo. O outro método, usualmente preferível e as vezes mais rápido , consiste em mudar os limites de integração ao se variar a variável
Exemplo 1

Solução
Vamos calcular pelo segundo método que é muito mais fácil.

Agora vamos chamar a função que está dentro da raiz como sendo o u
u = 2x + 1 , du = 2dx então du/2 =dx

Em seguida vamos calcular o valor de u=2x+1 que correspondem aos limites de integração x=0 e x=4
u(4)= 2*4 +1 = 9;
u(0)= 2*0 +1 =1.
Agora vamos passar o denominador a multiplicar o numerador e mudar os limites de integração

Agora vamos substituir os limites de integração trocando o u pelos limites 1 e 9

Continuando o exercício teremos,

Exemplo 2

Solução
Vamos começar escrevendo a integral como :

O teorema de integral afirma que toda integral que tenha divisão de funções , devemos utilizar o método da substituição de variáveis (udu).
u = 5x-1 , du = 5dx então , du/5 =dx
Substituindo na expressão , vem :

Depois disso, vamos calcular em seguida os valores de u = 5x - 1 que correspondem aos limites de integração x=2 e x= 10
Para x=2, u=5*2 - 1 = 9 ;
Para x=10, u=5*10 - 1 = 49 .
Agora temos que mudar os limites de integração

Vamos aplicar em cada termo a regra da potência

Continuando...

Agora vamos substituir os limites de integração

Exemplo 3

Solução
Sempre que temos a integral de uma raiz de uma função qualquer devemos aplicar o método da substituição de variáveis (udu).
u= 5-x , du = -dx então : - du=dx
Agora vamos substituir na integral

Em seguida vamos calcular os valores de u = 5-x que correspondem aos limites de integração x=1 e x=4 .
Para x=1 o u será : u = 5-1=4 ;
Para x= 4 o u será : u= 5-4 = 1.
Agora temos que mudar os limites de integração

Continuando...

Substituindo os limites de integração , vem :

Concluindo

Exemplo 4

Solução
Temos a integral de uma função que sugere a substituição de variáveis :

Agora vamos substituir na integral

Em seguida vamos calcular os valores de u = v ao quadrado -1 que correspondem aos limites de integração x= -1 e x=1 .
Para x= -1 o u será : u = 1-1 =0 ;
Para x= 1 o u será : u= 1-1 = 0.
Agora temos que mudar os limites de integração

Substituindo os limites de integração , vem :

Exemplo 5

Solução
Podemos resolver este problema fazendo a substituição de variáveis (udu)
u= 2x + 3 , du = 2dx então du/2 = dx
Agora vamos substituir as variáveis

Em seguida vamos calcular os valores de u = 2x+3 que correspondem aos limites de integração x= -1 e x=0 .
Para x= -1 a variável u será : u = 2*(-1) + 3 = 1;
Para x= 0 a variável u será : u= 2*0 + 3 = 3.
Agora temos que mudar os limites de integração


Continuando....

Substituindo os limites de integração , vem :

Exemplo 6

Solução
Podemos resolver este problema fazendo a substituição de variáveis (udu)

Agora vamos substituir as variáveis

Em seguida vamos calcular os valores de u que correspondem aos limites x= Pi e x=Pi/2 .

Agora temos que mudar os limites de integração

Substituindo os limites de integração , vem :

SÊ FORTE E CORAJOSO
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