Exercícios resolvidos sobre eventos independentes

Dois eventos A e B são ditos independentes quando a probabilidade da ocorrência de B não é afetada pela ocorrência A ou vice-versa .Este conceito pode ser estendido para mais de dois eventos .

Por exemplo, no lançamento de dois dados . O resultado de um dado é independente do resultado do outro.

Para resolver exercícios sobre eventos independentes,precisamos somente aplicar o teorema do produto para independência de eventos.

Teorema do produto 

O teorema do produto para independência de eventos afirma que,se os eventos A e B são independentes , temos :

 Se A,B e C são independentes ,temos :

Esse teorema somente é valido desde que os eventos não sejam mutuamente exclusivos ,isto é,A∩B=0.

É importante destacar que dois eventos são denominados mutuamente exclusivos , se eles não podem ocorrer simultaneamente,ou seja,A∩B=0(zero).

Por exemplo, no lançamento de um dado , não tem como ocorrer um número par e um número impar ao mesmo tempo, isto é ,A∩B=0,e do mesmo jeito, ao tirar duas cartas de um baralho. O resultado da primeira carta "influencia" o resultado da segunda carta, já que as duas cartas não podem ser iguais ou ocorrer simultaneamente.

Para entender melhor esse exemplo, vamos fazer um exercício .

Lançar um dado e observar o resultado.

O espaço amostral de um dado é : s = {1,2,3,4,5,6}

Sejam os eventos : A = ocorrer número par e B = ocorrer número impar,então :

A = {2,4,6} e B = {1,3,5}

Desse jeito podemos concluir que os eventos A e B são mutuamente exclusivos por que o que ocorreu em A afeta o resultado de B,ou seja,A∩B=0.

Exercício 1

Dois amigos foram caçar . Sabe-se que um deles tem 45% de probabilidade de acertar em qualquer caça, enquanto que o outro tem 60% . Qual é a probabilidade de em cada tiro disparado : 

a) ambos acertarem na mesma caça ?

b) nenhum acertar na mesma caça ?

c)  a caça ser atingida? 

Comentários 

Para responder a esse problema, temos as seguintes questões :

- A probabilidade de um acertar afeta a probabilidade de o outro acertar ?

- Se a probabilidade de um aumentar , vai diminuir a probabilidade do outro atirador ?

Obviamente que não .

A partir do momento que a gente sabe que a probabilidade de um não afeta a probabilidade de outro, faz com que  apliquemos o teorema do produto(multiplicação) para eventos independentes.

Solução

Probabilidade do primeiro atirador 

Acertar = 45% =0,45 o que significa que a probabilidade de ele não acertar é de 55%=0,55

Probabilidade do segundo atirador

Acertar = 60%=0,6 o que significa que a probabilidade de ele não acertar é de 40%=0,4

c) a caça só vai ser atingida, se os dois amigos conseguirem acertar, então, isso quer dizer que queremos calcular P(AUB). Para isso, devemos utilizar a fórmula:

Exercício 2

Uma urna contém 5 bolas brancas e 8 pretas. Se forem retiradas dessa urna sucessivamente, ou seja, não sendo as bolas recolocadas, depois de retiradas, qual é a probabilidade de que ambas sejam brancas?

Solução:

Na primeira retirada:

Na segunda retirada: Como a primeira bola não foi recolocada, ficaremos somente com 4 bolas brancas num total de 12.

Logo:

Exercício 3

A probabilidade de A acertar no alvo é 1/4 e a de B acertar é 2/5. Qual é a probabilidade do alvo ser atingido, se ambos atiram no alvo?

Solução

Sabemos que P(A) =1/4 e P(B) =2/5, e queremos achar P(AUB). Além disso, podemos claramente observar que, a probabilidade de A ou B acertar não é influenciada pelo que o outro faz ou deixa de fazer, isto é, o evento de A acertar no alvo é independente do evento de B acertar. Em todos os casos em que isso acontece utilizamos a fórmula :

Mas, queremos calcular a probabilidade do alvo ser atingido, então :

Exercício 4

Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra com reposição. Qual é  a probabilidade de ambas serem boas?

Solução

A ={a primeira peça é boa }
B = {a segunda peça é boa }

Como temos 4 peças defeituosas, então, 6 das 10 peças são boas, logo : P(peça boa) =6/10.

A probabilidade de retirar peças uma após a outra com reposição é sempre a mesma por que, vamos tirar uma peça e colocar na caixa, depois vamos tirar a outra e colocar novamente na caixa.

Podemos notar que antes da retirada de uma peça, na caixa sempre terá um total de 10 nas quais 4 defeituosas e 6 boas.

Calculando...

Exercício 5

A probabilidade de um deputado resolver o problema do povo é de 3/5 e a do presidente é 4/7. Qual é a probabilidade de que o problema do povo seja resolvido?

Solução


Exercícios para teste

1 - De um baralho de 52 cartas retiram-se ao acaso,duas cartas sem reposição . Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus ?

SOLUÇÃO PASSO A PASSO

2 - A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 19 anos é 2/5 , a de sua mulher é de 2/3.  Determine a probabilidade de que daqui a 19 anos :

a) ambos estejam vivos ;
b) nenhum esteja vivo ;
c) somente o homem esteja vivo;
d ) somente a mulher esteja viva.

SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Bons estudos !