Exercícios resolvidos de provas sobre integrais por partes

A nossa viagem começa na Definição

O método de integração por partes é uma técnica de integração utilizada para dar solução aos exercícios de integrais que envolvem uma multiplicação de funções.

Em que exercícios devemos aplicar esse método?


O método de integração por partes deve ser aplicado em exercícios só e somente se, temos uma multiplicação de duas funções nos casos em que mesmo derivando uma das funções , a sua derivada não será de nenhum jeito igual a outra função.

Exemplo


Temos a multiplicação de duas funções .Utilizando o método de substituição, se a gente chamar de u a nossa variável x , ao derivar ela teremos : u=x , du = dx

O nosso du é totalmente diferente da outra função exponencial elevada a x.

A gente pode notar que não tem como sumir com uma das funções utilizando a substituição de variáveis ou seja , não tem como derivar a função exponencial e encontrar o x, bem como do mesmo jeito não tem como como derivar o x e encontrar a função exponencial.

O que devemos saber afinal?


O método de integração por partes é uma ferramenta importante no estudo de cálculo mas devemos sempre ter alguns cuidados como :

1. Não devemos utilizar esse método em integrais que envolve uma divisão de funções,
2. No exercício dado pelo professor, devemos escolher adequadamente o u senão já era; 
3. O nosso dv sempre será a função mais complicada da integral; 

Fórmula de integração por partes


A integral de udv é igual a uv menos a integral de vdu.

Como este processo implica em separar o integrando em duas partes : u e dv,é importante a escolha adequada de u ,utilizando sempre a tabela LIATE onde :

Sempre que a gente tiver a multiplicação de duas funções que estão ali na tabela, as prioridades para escolher o u vai da esquerda a direita.
Durante os exercícios irei escrever o v em letra maiúscula para não ser confundido com o u.

Calcule as integrais dadas.

EXERCÍCIO 1

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv

Já que o u=x ,o dv será a outra função

  

• O v sempre vai ser igual a integral de dv; 
• A integral de uma exponencial é ela mesma.

Substituindo na fórmula

EXERCÍCIO 2

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv.

De acordo com a nossa tabela acima, o u tem que ser o x.

Se u=x , o nosso dv tem que ser o cos(x)

Substituindo na fórmula

De acordo com a tabela, a integral de sen(x) é -cos(x)

EXERCÍCIO 3

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv

A função trigonométrica vamos chamar de dv

Agora que temos o dv vamos integra-lo para achar o v

Se fosse integral de cosx simplesmente poderíamos encontrar o senx , mas a gente não tem essa integral de cos(5x) na tabela, então temos que aplicar o método de substituição nela.

Agora vamos passar o 5 no outro membro

Substituindo as variáveis u e du na integral ,vem:

Já que a integral de cos u é sen u , teremos:

Depois desse trabalhão,agora é só substituir o u,v e o dv na fórmula de integração por partes

Substituindo

 

Passando o 1/5 fora da integral e aplicando a substituição no sen(5x)dx, a gente pode concluir que :

EXERCÍCIO 4 

É muito recomendável entender este exercício que vamos aprender agora,porque ele ilustra uma outra maneira de calcular integral aplicando duas vezes a fórmula de integração por partes. "Força e Coragem "

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv e de acordo com a nossa tabela acima, o u tem que ser a algébrica que vai ser(x ao quadrado) e o dv vai ser a exponencial.

Achar o du

Agora vamos encontrar o v através de dv

A gente pode notar que precisamos aplicar o método da substituição para encontrar o v porque não temos essa integral na tabela:

Substituindo na integral do v,teremos :

Agora vamos passar o 2 para fora da integral e utilizar o conceito de que a integral de uma exponencial é ela mesma.

Agora vamos substituir o u,du e dv na fórmula de integração

Para calcular a integral no membro direito da última equação, devemos novamente integrar por partes.

Essa nova integral vamos chamar de A.1

Chamando a nova integral de A.1 a integral A fica :

Calculando a integral A.1, vem:

E o nosso dv será :

Para encontrarmos o valor de v temos que aplicar a substituição de variáveis u.du (como nos exercícios anteriores),teremos :

Substituindo na integral A.1

Na integral no membro direito da última equação, passamos o 1/2 pra fora e aplicamos novamente a substituição no Euler elevado a 2x.

Então temos que A.1 será :

Finalmente podemos substituir na integral A o resultado de A.1

Assim teremos :

EXERCÍCIO 5

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv.

A outra função que chamaremos de dv será :

Já que o V é igual a Euler na menos 1, temos que aplicar substituição (" não temos essa função na tabela de integrais")

depois de achar o u e du, teremos que V será igual:

Substituindo o u,v e dv na fórmula de integração fica :

Continuando...

Para calcular a integral no membro direito da última equação, devemos novamente integrar por substituição,do mesmo jeito que a gente fez a pouco tempo, então:

EXERCÍCIO 6

Vamos dar um jeito de botar nessa fórmula

O primeiro passo para botar nessa fórmula é escolher adequadamente o u . Para isto a gente deve simplesmente obedecer a tabela LIATE .

De acordo com a tabela a nossa função logarítmica(ln)será o nosso u e a outra função, no caso a função raiz de x vai ser o dv

Agora vamos encontrar o v através do dv

Vamos integrar o dv para encontrar o v

Substituindo o u,v e dv teremos

Continuando...

Ao simplificar o x , tem que subtrair os expoentes

Já já a gente termina rsrs

Bons estudos !

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