Tudo sobre a distribuição de Poisson e exercícios resolvidos com comentários

O que é uma distribuição de Poisson ?

A distribuição de Poisson é um tipo de distribuição discreta de probabilidade aplicável as ocorrências de um vento que se difere da distribuição binomial porque ela ocorre num intervalo temporal ou numa região espacial especifico como: tempo,distancia ,área,volume e etc.

O que devemos saber afinal ?

Quando estamos perante um exercício de estatística sobre probabilidades, a dificuldade principal muitas das vezes não é dar solução ao exercício, mas saber qual tipo de distribuição utilizar, quando utilizar e etc.

Mas agora o "velho Maromba" vai dar umas dicas sobre este tipo de distribuição.

- Na distribuição de Poisson , a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente Zero ;

- O nº médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço é constante ao longo do tempo ou espaço ;

- O nº de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo e quanto maior o intervalo, maior o nº de ocorrências;

- Em intervalos iguais, as probabilidades de ocorrências também devem ser iguais ;

-A média de qualquer distribuição de Poisson é igual a sua variância (Var)

Diferença principal entre a distribuição binomial e de Poisson

A diferença principal entre essas duas distribuições consiste no seguinte :

A binomial é afetada pelo tamanho da amostra (espaço amostral) e pela probabilidade p, enquanto a Poisson é afetada apenas pela taxa de ocorrências (média).

Onde :

Exemplo 1

Uma entrada telefônica tipo PABx,recebe uma média de 5 chamadas por minuto .
Qual a probabilidade deste PABx não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minutos?

Solução: Este é um experimento de Poisson então:

Primeiramente temos que saber que :

- Queremos calcular a probabilidade para nenhuma chamada ,então : x = 0;

- O lambda é a taxa de ocorrência do problema(média) que neste caso vai ser de 5 chamadas .

- Depois de encontrar as variáveis, agora é só botar os valores na fórmula :

Exemplo 2

Um departamento de Policia ,recebe em média 5 solicitações por hora . Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente ?

Solução: Este é um experimento de Poisson 

Para resolver este problema, temos que encontrar as variáveis x e lambda .

-  O nosso desejo é calcular a probabilidade para duas solicitações ,então : x = 2;

- O nosso lambda é a taxa de ocorrência do problema(média) que neste caso vai ser de 5 solicitações.

Exemplo 3

A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba.  Qual é a probabilidade de no máximo 3 clientes pararem qualquer hora ?

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos as seguintes perguntas:
-Qual é a probabilidade que desejamos calcular ? desejamos calcular a probabilidade de 3 clientes  então ,o x será igual a 3;
-Qual é o nosso lambda ou número médio dessa situação ? o número médio dessa situação é de 6 clientes por isso, o lambda será igual a 6.
-Em probabilidade, quando se  fala de no máximo acontecer alguma coisa, quer dizer que vamos calcular a probabilidade do próprio máximo até a probabilidade de x=0, somando os resultados.

Agora vamos calcular a probabilidade para  x=0,ou seja, para nenhum cliente

Seguindo , vamos calcular a probabilidade para 1 cliente

Depois de calcular para 1 cliente, vamos calcular para 2 clientes

E finalmente vamos calcular para 3 clientes que é o nº máximo de clientes que o problema pediu

Concluindo

Exemplo 4

O governo de uma ilha informou que durante 20 anos ,196 turistas faleceram .

4.1 Qual a média do nº de turistas que faleceram por ano ?

4.2 Qual é a probabilidade de nenhum turista falecer no próximo ano ?

4.3 Qual é a probabilidade de 4 turistas falecerem no próximo ano ?

Solução 4.1

Solução 4.2

Como vamos calcular a probabilidade para nenhum turista falecer, o x vai ser igual a 0
 
Solução 4.3
Já que vamos calcular a probabilidade para 4 pessoas falecerem, o nosso x será x = 4

Exemplo 5

Algum evento, diz que a chegada de uma partícula estranha do espaço num balcão em alguma fazenda do interior de São Paulo, ocorre em média 2 vezes por hora. Mas há variações dessa média. Qual é a probabilidade de que em uma determinada hora três estranhas partículas sejam gravadas?

   

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

-O primeiro fator de analise  é a média (lambda) do exercício que vai ser igual a 2;

-Depois de encontrar o lambda, temos que saber qual é a nossa expetativa ou o que desejamos calcular ? a nossa expetativa é que sejam gravadas 3 partículas estranhas , então x = 3.

Exemplo 6

Foi observado que o número médio de acidentes de trânsito, que necessitam de assistência médica na auto-estrada Hollywood entre 7 e 08:00 na manhã de quarta-feira é 1.Qual é a probabilidade de  haver necessidade de  exatamente 2 ambulâncias na auto-estrada, durante esse intervalo de tempo em qualquer manhã de quarta-feira? O despachante do hospital precisa saber.

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

O primeiro procedimento a fazer ,é encontrar a média (lambda) que neste caso vai ser = a 1,

Depois de encontrar a média, vamos encontrar o x que é a nossa expetativa ou o que a gente deseja calcular  que neste caso vai ser igual a 2.

Exemplo 7

O número médio de casas vendidas pela empresa Acme Realty é de 2 casas por dia. Qual é a probabilidade de que exatamente 3 casas sejam vendidas amanhã?

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

- Em média duas casas são vendidas por dia , então lambda = 2;

- já que queremos encontrar a probabilidade de que 3 casas sejam vendidas amanhã, o x vai ser igual a 3;

- e = 2,71828 é uma constante, então :

Colocando esses valores na fórmula de Poisson, vem :

Assim, a probabilidade de vender 3 casas de amanhã é 18%.

Exemplo 8

O número médio de produtos defeituosos produzidos em uma fábrica em um dia é 21. Qual é a probabilidade de que em um determinado dia, tenha exatamente 12 produtos defeituosos?

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

- Em média temos 21 produtos defeituosos então, lambda =21;

-já que queremos encontrar a probabilidade de que exatamente tenha 12 produtos defeituosos , o x vai ser x=12;

- e = 2,71828 , é uma constante igual a  2,71828.

Assim, a probabilidade de existir exatamente 12 produtos defeituosos é de 0,012

Exemplo 9

Uma empresa fabrica motores elétricos. A probabilidade de um motor elétrico estar com defeito é de 0. 01. Qual é a probabilidade de que em uma amostra de 3 0 0 motores elétricos contenha exatamente 5 motores defeituosos?

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

- O número médio de motores defeituosos em 300 motores vai ser lambda = 0,01*300 = 3;

- já que queremos encontrar a probabilidade de que exatamente 5 motores estejam com defeitos, o  x vai ser igual a 5 .

- e = 2,71828, é uma constante igual a  2,71828.

Exemplo 10

Se as falhas de energia elétrica  ocorrer de acordo com uma distribuição de Poisson, com uma média de 3 falhas a cada vinte semanas. Calcular a probabilidade de que não haverá mais do que uma falha durante uma semana particular.

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

- o número médio de falhas vai ser lambda = total de falhas/total de semanas = 3/20 = 0,15

-"Não mais do que um falha" significa que só aceita no máximo 1 falha ,ou seja só aceita nenhuma falha(x=0) ou  uma falha (x = 1) e o somatório das duas probabilidades vai ser o resultado final.

- e = 2,71828,  é uma constante igual a  2,71828.

Vamos calcular a probabilidade para x = 0

Vamos calcular a probabilidade para x = 1

Concluindo :