Exercícios resolvidos sobre regra da cadeia para funções trigonométricas

Derivadas de funções trigonométricas 

Função Seno 

Se f(x) = senx  então , f '(x) = cosx
se f(x) = senu  então , f '(x)  = cosu. u'

Exemplo 1

Solução

Função Cosseno

Se f(x) = cosx  então , f '(x) = - senx
Se f(x) = cosu  então , f '(x) = -senu.u'

Exemplo 2

Solução

Relação fundamental da trigonométrica 

Função tangente 

f(x) = tg(x) , então f '(x)= sec^2 x
f(x) = sec^2 u.  u'

Exemplo 3

Solução

A gente pode notar que :

Sabendo que :

Teremos :

Continuando...

Finalizando o exercício , teremos:

Função cotangente

f(x) = cotg(x)  então f '(x) = - csc^2 x

f(x) = cotgu  então f ' (x) = (- csc^2 u). u'

Exemplo 4

Solução

Continuando o exercício, teremos :

Relação entre tg(x) e cotg(x)

tg(x).cotg(x) = 1

Função cossecante

f(x) = cossec x  então f '(x) = -cossecx.cotgx

Exemplo 5

Calcule a derivada da função 

Solução

Sabendo que a derivada da soma é igual a soma das derivadas , teremos :

Continuando...

Agora vamos fazer a multiplicação dos  2 membros 

Finalizando, teremos :

Exemplo 6

Calcule a derivada da função 

Solução

se f(x) = senu  então , f '(x)  = cosu. u'

Continuando ...

Exemplo 7

Calcule a derivada da função 

Solução

Podemos notar que :

Diferenciando a função , teremos :

Sabendo que a derivada de f(x)=senu é f '(x) = cos u . u' , teremos:

Finalizando o exercício, teremos :

Exemplo 8

Calcule y '  se :

Solução

Já que derivada de csc u = -cscu . cotg u. u' , então :

Este é um exercício bacana né ?  mas vamos lá

Estamos num bom caminho....pode sorrir

Continuando, teremos :

Sabendo que x - x = 0 , teremos :

Finalmente ...

Exemplo 9

Solução

Sabendo que a derivada da soma, é igual a soma das derivadas , teremos :

Já que a derivada de tgx = sec ao quadrado de x e da  cotgx  igual a  - csc ao quadrado de x, vem:

Continuando ...

Sabendo que x^-a é a mesma coisa que 1/x^a , teremos o seguinte:

Concluindo...

Exercícios propostos 

Calcule as derivadas das funções :

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO