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Tudo sobre a distribuição de Poisson e exercícios resolvidos com comentários

O que é uma distribuição de Poisson ?

A distribuição de Poisson é um tipo de distribuição discreta de probabilidade aplicável as ocorrências de um vento que se difere da distribuição binomial porque ela ocorre num intervalo temporal ou numa região espacial especifico como: tempo,distancia ,área,volume e etc.

O que devemos saber afinal ?

Quando estamos perante um exercício de estatística sobre probabilidades, a dificuldade principal muitas das vezes não é dar solução ao exercício, mas saber qual tipo de distribuição utilizar, quando utilizar e etc.

Mas agora o "velho Maromba" vai dar umas dicas sobre este tipo de distribuição.

- Na distribuição de Poisson , a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente Zero ;

- O nº médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço é constante ao longo do tempo ou espaço ;

- O nº de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo e quanto maior o intervalo, maior o nº de ocorrências;

- Em intervalos iguais, as probabilidades de ocorrências também devem ser iguais ;

-A média de qualquer distribuição de Poisson é igual a sua variância (Var)

Diferença principal entre a distribuição binomial e de Poisson

A diferença principal entre essas duas distribuições consiste no seguinte :

A binomial é afetada pelo tamanho da amostra (espaço amostral) e pela probabilidade p, enquanto a Poisson é afetada apenas pela taxa de ocorrências (média).


Onde :


Exemplo 1

Uma entrada telefônica tipo PABx,recebe uma média de 5 chamadas por minuto .
Qual a probabilidade deste PABx não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minutos?

Solução: Este é um experimento de Poisson então:

Primeiramente temos que saber que :

- Queremos calcular a probabilidade para nenhuma chamada ,então : x = 0;

- O lambda é a taxa de ocorrência do problema(média) que neste caso vai ser de 5 chamadas .

- Depois de encontrar as variáveis, agora é só botar os valores na fórmula :


Exemplo 2

Um departamento de Policia ,recebe em média 5 solicitações por hora . Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente ?

Solução: Este é um experimento de Poisson 

Para resolver este problema, temos que encontrar as variáveis x e lambda .

-  O nosso desejo é calcular a probabilidade para duas solicitações ,então : x = 2;

- O nosso lambda é a taxa de ocorrência do problema(média) que neste caso vai ser de 5 solicitações.


Exemplo 3

A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba.  Qual é a probabilidade de no máximo 3 clientes pararem qualquer hora ?

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos as seguintes perguntas:
-Qual é a probabilidade que desejamos calcular ? desejamos calcular a probabilidade de 3 clientes  então ,o x será igual a 3;
-Qual é o nosso lambda ou número médio dessa situação ? o número médio dessa situação é de 6 clientes por isso, o lambda será igual a 6.
-Em probabilidade, quando se  fala de no máximo acontecer alguma coisa, quer dizer que vamos calcular a probabilidade do próprio máximo até a probabilidade de x=0, somando os resultados.
Agora vamos calcular a probabilidade para  x=0,ou seja, para nenhum cliente
Seguindo , vamos calcular a probabilidade para 1 cliente
Depois de calcular para 1 cliente, vamos calcular para 2 clientes

E finalmente vamos calcular para 3 clientes que é o nº máximo de clientes que o problema pediu
Concluindo


Exemplo 4

O governo de uma ilha informou que durante 20 anos ,196 turistas faleceram .

4.1 Qual a média do nº de turistas que faleceram por ano ?

4.2 Qual é a probabilidade de nenhum turista falecer no próximo ano ?

4.3 Qual é a probabilidade de 4 turistas falecerem no próximo ano ?

Solução 4.1

Solução 4.2

Como vamos calcular a probabilidade para nenhum turista falecer, o x vai ser igual a 0
 
Solução 4.3
Já que vamos calcular a probabilidade para 4 pessoas falecerem, o nosso x será x = 4

Exemplo 5

Algum evento, diz que a chegada de uma partícula estranha do espaço num balcão em alguma fazenda do interior de São Paulo, ocorre em média 2 vezes por hora. Mas há variações dessa média. Qual é a probabilidade de que em uma determinada hora três estranhas partículas sejam gravadas?
   
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

-O primeiro fator de analise  é a média (lambda) do exercício que vai ser igual a 2;
-Depois de encontrar o lambda, temos que saber qual é a nossa expetativa ou o que desejamos calcular ? a nossa expetativa é que sejam gravadas 3 partículas estranhas , então x = 3.
Exemplo 6

Foi observado que o número médio de acidentes de trânsito, que necessitam de assistência médica na auto-estrada Hollywood entre 7 e 08:00 na manhã de quarta-feira é 1.Qual é a probabilidade de  haver necessidade de  exatamente 2 ambulâncias na auto-estrada, durante esse intervalo de tempo em qualquer manhã de quarta-feira? O despachante do hospital precisa saber.

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

O primeiro procedimento a fazer ,é encontrar a média (lambda) que neste caso vai ser = a 1,
Depois de encontrar a média, vamos encontrar o x que é a nossa expetativa ou o que a gente deseja calcular  que neste caso vai ser igual a 2.

Exemplo 7

O número médio de casas vendidas pela empresa Acme Realty é de 2 casas por dia. Qual é a probabilidade de que exatamente 3 casas sejam vendidas amanhã?

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

- Em média duas casas são vendidas por dia , então lambda = 2;
- já que queremos encontrar a probabilidade de que 3 casas sejam vendidas amanhã, o x vai ser igual a 3;
- e = 2,71828 é uma constante, então :

Colocando esses valores na fórmula de Poisson, vem :

Assim, a probabilidade de vender 3 casas de amanhã é 18%.

Exemplo 8

O número médio de produtos defeituosos produzidos em uma fábrica em um dia é 21. Qual é a probabilidade de que em um determinado dia, tenha exatamente 12 produtos defeituosos?

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

- Em média temos 21 produtos defeituosos então, lambda =21;
-já que queremos encontrar a probabilidade de que exatamente tenha 12 produtos defeituosos , o x vai ser x=12;
- e = 2,71828 , é uma constante igual a  2,71828.


Assim, a probabilidade de existir exatamente 12 produtos defeituosos é de 0,012

Exemplo 9

Uma empresa fabrica motores elétricos. A probabilidade de um motor elétrico estar com defeito é de 0. 01. Qual é a probabilidade de que em uma amostra de 3 0 0 motores elétricos contenha exatamente 5 motores defeituosos?

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

- O número médio de motores defeituosos em 300 motores vai ser lambda = 0,01*300 = 3;
- já que queremos encontrar a probabilidade de que exatamente 5 motores estejam com defeitos, o  x vai ser igual a 5 .
- e = 2,71828, é uma constante igual a  2,71828.

Exemplo 10

Se as falhas de energia elétrica  ocorrer de acordo com uma distribuição de Poisson, com uma média de 3 falhas a cada vinte semanas. Calcular a probabilidade de que não haverá mais do que uma falha durante uma semana particular.

Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:

- o número médio de falhas vai ser lambda = total de falhas/total de semanas = 3/20 = 0,15
-"Não mais do que um falha" significa que só aceita no máximo 1 falha ,ou seja só aceita nenhuma falha(x=0) ou  uma falha (x = 1) e o somatório das duas probabilidades vai ser o resultado final.
- e = 2,71828,  é uma constante igual a  2,71828.

Vamos calcular a probabilidade para x = 0

Vamos calcular a probabilidade para x = 1

Concluindo :


Comentários

  1. Respostas
    1. Que bom Cris...ficamos felizes em ajudar você ...Bons estudos

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  2. Muito show!!! Perfeito. Obrigada!

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  3. Muito interessante e ajudou'me bastante. obrigado.

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  4. Muito bom, ajudou d+, Parabéns

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    1. Ah ! que bom...nossa missão é promover o melhor conteúdo

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  5. Olá, eu tenho uma dúvida, no caso desta questão: Em um pronto socorro chegam em média 15 pessoas por hora. Determine a probabilidade de em 15 min, chegar dois pacientes.

    tem alguma diferença da média ser em horas e o exercício pedir em minutos?

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    1. Pois é, também tenho esta dúvida pois nenhum dos exemplos acima quebra o espaço da amostra vinda da media.

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    2. A única diferença é que vc deve trabalhar com medidas iguais, ou conversa as horas em min ou vice versa.

      Assim, ん=15 (Pac)/60(min) =0,25 pacientes/ min.
      Isso é constante para qualquer valor de tempo na distribuição Poisson.

      Portanto, p(X=2)= (e^-0,25 x 0,25^2) / 2! =2,43% (aprox).
      Foi isso que entendi.

      Desculpe não desenhar a fórmula acima bonitinho, mas não tenho recursos nesse teclado do tab.
      Espero ter ajudado.

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  6. foi de fato um pulo do gato ! mt bom

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    1. Obrigado pelo elogio ...foco e fé nos estudos.Boa tarde

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  7. O resultado da Poisson vai ser sempre maior que o resultado da binomial?

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    1. Olá ! Obrigado pelo feedback. A resposta é não, já que todo resultado depende dos dados do problema e além disso, em estatística a distribuição de Poisson e a Binomial são utilizadas com finalidades diferentes.

      Mas, o que pode acontecer é a gente usar a distribuição de Poisson como uma aproximação da distribuição Binomial. Quando n, o número de tentativas, for grande e p ou 1 – p for pequeno
      (eventos raros). Um bom princípio básico é usar a distribuição de Poisson quando n
      ≥ 30 e n.p ou n.(1-p) < 5. Quando n for grande, pode consumir muito tempo em usar a distribuição binomial e tabelas para probabilidades binomiais, para valores muito pequenos de p podem não estarem disponíveis. Se n(1-p) < 5, sucesso e fracasso deverão ser redefinidos de modo que Np < 5 para tornar a aproximação precisa.

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  8. Muito obrigada!!! Sério mesmo!!! Ficou faltando uma aula show dessa para distribuição geométrica e Bernoulli.

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    Respostas
    1. Olá ! Obrigado pela sugestão. Nos próximos dias, a gente vai trazer esses assuntos aqui . Take care

      Excluir
  9. Muito obrigada!!! Sério mesmo!!! Ficou faltando uma aula show dessa para distribuição geométrica e Bernoulli.

    ResponderExcluir
  10. Olá, gostaria de vos agradecer pois esses conteúdos da distribuição de poisson e a binomial me ajudou bastante a perceber a matéria, mas no que diz respeito ao exercício número 9 não percebi porquê se trata de uma distribuição de poisson, agradeceria bastante se me ajudassem a entender

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. A gente usou a distribuição de Poisson, por que a partir da probabilidade de um motor elétrico estar com defeito, podemos determinar o número médio de defeitos para cada x motores fabricados. Obrigado pelo Feedback,bons estudos!

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  11. Muito obrigado. Hoje tenho teste de estadística! :)

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  12. ola gostei muito da materia, ajudou-me muito, tenho uma so duvida, quando o valor for x maior ou igual 3... como poderia resolver.

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Solução

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