O que é uma distribuição de Poisson ?
A distribuição de Poisson é um tipo de distribuição discreta de probabilidade aplicável as ocorrências de um vento que se difere da distribuição binomial porque ela ocorre num intervalo temporal ou numa região espacial especifico como: tempo,distancia ,área,volume e etc.
O que devemos saber afinal ?
Quando estamos perante um exercício de estatística sobre probabilidades, a dificuldade principal muitas das vezes não é dar solução ao exercício, mas saber qual tipo de distribuição utilizar, quando utilizar e etc.
Mas agora o "velho Maromba" vai dar umas dicas sobre este tipo de distribuição.
- Na distribuição de Poisson , a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente Zero ;
- O nº médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço é constante ao longo do tempo ou espaço ;
- O nº de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo e quanto maior o intervalo, maior o nº de ocorrências;
- Em intervalos iguais, as probabilidades de ocorrências também devem ser iguais ;
-A média de qualquer distribuição de Poisson é igual a sua variância (Var)
Diferença principal entre a distribuição binomial e de Poisson
A diferença principal entre essas duas distribuições consiste no seguinte :
A binomial é afetada pelo tamanho da amostra (espaço amostral) e pela probabilidade p, enquanto a Poisson é afetada apenas pela taxa de ocorrências (média).
Exemplo 1
Uma entrada telefônica tipo PABx,recebe uma média de 5 chamadas por minuto .
Qual a probabilidade deste PABx não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minutos?
Solução: Este é um experimento de Poisson então:
Primeiramente temos que saber que :
- Queremos calcular a probabilidade para nenhuma chamada ,então : x = 0;
- O lambda é a taxa de ocorrência do problema(média) que neste caso vai ser de 5 chamadas .
- Depois de encontrar as variáveis, agora é só botar os valores na fórmula :
Exemplo 2
Um departamento de Policia ,recebe em média 5 solicitações por hora . Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente ?
Solução: Este é um experimento de Poisson
Para resolver este problema, temos que encontrar as variáveis x e lambda .
- O nosso desejo é calcular a probabilidade para duas solicitações ,então : x = 2;
- O nosso lambda é a taxa de ocorrência do problema(média) que neste caso vai ser de 5 solicitações.
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:
O número médio de casas vendidas pela empresa Acme Realty é de 2 casas por dia. Qual é a probabilidade de que exatamente 3 casas sejam vendidas amanhã?
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:
Colocando esses valores na fórmula de Poisson, vem :
O número médio de produtos defeituosos produzidos em uma fábrica em um dia é 21. Qual é a probabilidade de que em um determinado dia, tenha exatamente 12 produtos defeituosos?
Uma empresa fabrica motores elétricos. A probabilidade de um motor elétrico estar com defeito é de 0. 01. Qual é a probabilidade de que em uma amostra de 3 0 0 motores elétricos contenha exatamente 5 motores defeituosos?
Se as falhas de energia elétrica ocorrer de acordo com uma distribuição de Poisson, com uma média de 3 falhas a cada vinte semanas. Calcular a probabilidade de que não haverá mais do que uma falha durante uma semana particular.
O que devemos saber afinal ?
Quando estamos perante um exercício de estatística sobre probabilidades, a dificuldade principal muitas das vezes não é dar solução ao exercício, mas saber qual tipo de distribuição utilizar, quando utilizar e etc.
- Na distribuição de Poisson , a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente Zero ;
- O nº médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço é constante ao longo do tempo ou espaço ;
- O nº de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo e quanto maior o intervalo, maior o nº de ocorrências;
- Em intervalos iguais, as probabilidades de ocorrências também devem ser iguais ;
-A média de qualquer distribuição de Poisson é igual a sua variância (Var)
Diferença principal entre a distribuição binomial e de Poisson
A binomial é afetada pelo tamanho da amostra (espaço amostral) e pela probabilidade p, enquanto a Poisson é afetada apenas pela taxa de ocorrências (média).
Onde :
Uma entrada telefônica tipo PABx,recebe uma média de 5 chamadas por minuto .
Qual a probabilidade deste PABx não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minutos?
Primeiramente temos que saber que :
- Queremos calcular a probabilidade para nenhuma chamada ,então : x = 0;
- O lambda é a taxa de ocorrência do problema(média) que neste caso vai ser de 5 chamadas .
- Depois de encontrar as variáveis, agora é só botar os valores na fórmula :
Um departamento de Policia ,recebe em média 5 solicitações por hora . Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente ?
Solução: Este é um experimento de Poisson
Para resolver este problema, temos que encontrar as variáveis x e lambda .
- O nosso desejo é calcular a probabilidade para duas solicitações ,então : x = 2;
- O nosso lambda é a taxa de ocorrência do problema(média) que neste caso vai ser de 5 solicitações.
Exemplo 3
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba. Qual é a probabilidade de no máximo 3 clientes pararem qualquer hora ?
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos as seguintes perguntas:
-Qual é a probabilidade que desejamos calcular ? desejamos calcular a probabilidade de 3 clientes então ,o x será igual a 3;
-Qual é o nosso lambda ou número médio dessa situação ? o número médio dessa situação é de 6 clientes por isso, o lambda será igual a 6.
-Em probabilidade, quando se fala de no máximo acontecer alguma coisa, quer dizer que vamos calcular a probabilidade do próprio máximo até a probabilidade de x=0, somando os resultados.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba. Qual é a probabilidade de no máximo 3 clientes pararem qualquer hora ?
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos as seguintes perguntas:
-Qual é a probabilidade que desejamos calcular ? desejamos calcular a probabilidade de 3 clientes então ,o x será igual a 3;
-Qual é o nosso lambda ou número médio dessa situação ? o número médio dessa situação é de 6 clientes por isso, o lambda será igual a 6.
-Em probabilidade, quando se fala de no máximo acontecer alguma coisa, quer dizer que vamos calcular a probabilidade do próprio máximo até a probabilidade de x=0, somando os resultados.
Agora vamos calcular a probabilidade para x=0,ou seja, para nenhum cliente
Seguindo , vamos calcular a probabilidade para 1 cliente
Depois de calcular para 1 cliente, vamos calcular para 2 clientes
E finalmente vamos calcular para 3 clientes que é o nº máximo de clientes que o problema pediu
O governo de uma ilha informou que durante 20 anos ,196 turistas faleceram .
4.1 Qual a média do nº de turistas que faleceram por ano ?
4.2 Qual é a probabilidade de nenhum turista falecer no próximo ano ?
4.3 Qual é a probabilidade de 4 turistas falecerem no próximo ano ?
Solução 4.1
Solução 4.2
Como vamos calcular a probabilidade para nenhum turista falecer, o x vai ser igual a 0
Solução 4.3
Já que vamos calcular a probabilidade para 4 pessoas falecerem, o nosso x será x = 4
Algum evento, diz que a chegada de uma partícula estranha do espaço num balcão em alguma fazenda do interior de São Paulo, ocorre em média 2 vezes por hora. Mas há variações dessa média. Qual é a probabilidade de que em uma determinada hora três estranhas partículas sejam gravadas?
Concluindo
Exemplo 4
O governo de uma ilha informou que durante 20 anos ,196 turistas faleceram .
4.1 Qual a média do nº de turistas que faleceram por ano ?
4.2 Qual é a probabilidade de nenhum turista falecer no próximo ano ?
4.3 Qual é a probabilidade de 4 turistas falecerem no próximo ano ?
Solução 4.1
Solução 4.2
Como vamos calcular a probabilidade para nenhum turista falecer, o x vai ser igual a 0
Solução 4.3
Já que vamos calcular a probabilidade para 4 pessoas falecerem, o nosso x será x = 4
Exemplo 5
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:
-O primeiro fator de analise é a média (lambda) do exercício que vai ser igual a 2;
-Depois de encontrar o lambda, temos que saber qual é a nossa expetativa ou o que desejamos calcular ? a nossa expetativa é que sejam gravadas 3 partículas estranhas , então x = 3.
Exemplo 6
Foi observado que o número médio de acidentes de trânsito, que necessitam de assistência médica na auto-estrada Hollywood entre 7 e 08:00 na manhã de quarta-feira é 1.Qual é a probabilidade de haver necessidade de exatamente 2 ambulâncias na auto-estrada, durante esse intervalo de tempo em qualquer manhã de quarta-feira? O despachante do hospital precisa saber.
O primeiro procedimento a fazer ,é encontrar a média (lambda) que neste caso vai ser = a 1,
Depois de encontrar a média, vamos encontrar o x que é a nossa expetativa ou o que a gente deseja calcular que neste caso vai ser igual a 2.
Exemplo 7
- Em média duas casas são vendidas por dia , então lambda = 2;
- já que queremos encontrar a probabilidade de que 3 casas sejam vendidas amanhã, o x vai ser igual a 3;
- e = 2,71828 é uma constante, então :
Assim, a probabilidade de vender 3 casas de amanhã é 18%.
Exemplo 8
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:
- Em média temos 21 produtos defeituosos então, lambda =21;
-já que queremos encontrar a probabilidade de que exatamente tenha 12 produtos defeituosos , o x vai ser x=12;
- e = 2,71828 , é uma constante igual a 2,71828.
Assim, a probabilidade de existir exatamente 12 produtos defeituosos é de 0,012
Exemplo 9
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:
- O número médio de motores defeituosos em 300 motores vai ser lambda = 0,01*300 = 3;
- já que queremos encontrar a probabilidade de que exatamente 5 motores estejam com defeitos, o x vai ser igual a 5 .
- e = 2,71828, é uma constante igual a 2,71828.
Exemplo 10
Solução: Este é um experimento de Poisson em que faremos o seguinte:
- o número médio de falhas vai ser lambda = total de falhas/total de semanas = 3/20 = 0,15
-"Não mais do que um falha" significa que só aceita no máximo 1 falha ,ou seja só aceita nenhuma falha(x=0) ou uma falha (x = 1) e o somatório das duas probabilidades vai ser o resultado final.
- e = 2,71828, é uma constante igual a 2,71828.
Vamos calcular a probabilidade para x = 0
Vamos calcular a probabilidade para x = 1
Concluindo :
Ajudou muito. Obrigada.
ResponderExcluirQue bom Cris...ficamos felizes em ajudar você ...Bons estudos
ExcluirMuito show!!! Perfeito. Obrigada!
ResponderExcluirA gente agradece seu feedback. Bons estudos!
Excluirfoi legal
ResponderExcluirMuito interessante e ajudou'me bastante. obrigado.
ResponderExcluirQue bom amigão...Estamos juntos
ExcluirMuito bom, ajudou d+, Parabéns
ResponderExcluirAh ! que bom...nossa missão é promover o melhor conteúdo
ExcluirCtrl + D. Show!
ResponderExcluirhahaha...legal
ExcluirOlá, eu tenho uma dúvida, no caso desta questão: Em um pronto socorro chegam em média 15 pessoas por hora. Determine a probabilidade de em 15 min, chegar dois pacientes.
ResponderExcluirtem alguma diferença da média ser em horas e o exercício pedir em minutos?
Pois é, também tenho esta dúvida pois nenhum dos exemplos acima quebra o espaço da amostra vinda da media.
ExcluirA única diferença é que vc deve trabalhar com medidas iguais, ou conversa as horas em min ou vice versa.
ExcluirAssim, ん=15 (Pac)/60(min) =0,25 pacientes/ min.
Isso é constante para qualquer valor de tempo na distribuição Poisson.
Portanto, p(X=2)= (e^-0,25 x 0,25^2) / 2! =2,43% (aprox).
Foi isso que entendi.
Desculpe não desenhar a fórmula acima bonitinho, mas não tenho recursos nesse teclado do tab.
Espero ter ajudado.
foi de fato um pulo do gato ! mt bom
ResponderExcluirObrigado pelo elogio ...foco e fé nos estudos.Boa tarde
ExcluirO resultado da Poisson vai ser sempre maior que o resultado da binomial?
ResponderExcluirOlá ! Obrigado pelo feedback. A resposta é não, já que todo resultado depende dos dados do problema e além disso, em estatística a distribuição de Poisson e a Binomial são utilizadas com finalidades diferentes.
ExcluirMas, o que pode acontecer é a gente usar a distribuição de Poisson como uma aproximação da distribuição Binomial. Quando n, o número de tentativas, for grande e p ou 1 – p for pequeno
(eventos raros). Um bom princípio básico é usar a distribuição de Poisson quando n
≥ 30 e n.p ou n.(1-p) < 5. Quando n for grande, pode consumir muito tempo em usar a distribuição binomial e tabelas para probabilidades binomiais, para valores muito pequenos de p podem não estarem disponíveis. Se n(1-p) < 5, sucesso e fracasso deverão ser redefinidos de modo que Np < 5 para tornar a aproximação precisa.
Muito obrigada!!! Sério mesmo!!! Ficou faltando uma aula show dessa para distribuição geométrica e Bernoulli.
ResponderExcluirOlá ! Obrigado pela sugestão. Nos próximos dias, a gente vai trazer esses assuntos aqui . Take care
ExcluirMuito obrigada!!! Sério mesmo!!! Ficou faltando uma aula show dessa para distribuição geométrica e Bernoulli.
ResponderExcluirOlá, gostaria de vos agradecer pois esses conteúdos da distribuição de poisson e a binomial me ajudou bastante a perceber a matéria, mas no que diz respeito ao exercício número 9 não percebi porquê se trata de uma distribuição de poisson, agradeceria bastante se me ajudassem a entender
ResponderExcluirA gente usou a distribuição de Poisson, por que a partir da probabilidade de um motor elétrico estar com defeito, podemos determinar o número médio de defeitos para cada x motores fabricados. Obrigado pelo Feedback,bons estudos!
Excluirola gostei muito da materia, ajudou-me muito, tenho uma so duvida, quando o valor for x maior ou igual 3... como poderia resolver.
ResponderExcluirobrigado pela ajuda
ResponderExcluirOlá! Será que me poderia ajudar neste exercício?
ResponderExcluir"O número de mensagens que um cliente da “Comunicar Bem” envia, em cada 5 minutos, é uma variável aleatória com valor médio 3.2. a) Qual é a probabilidade de um cliente enviar, no máximo, 40 mensagens durante uma hora?"
Obrigado!!
Excelente material!!!
ResponderExcluirEstou a aprender muito obrigada
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