Em estudos de cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para calcular a derivada da composição de duas ou mais funções.
Imagina o seguinte ('é só para imaginar Okay '?,beleza ):
Temos uma função f(z)=( 3z+3)^3 e queremos calcular a derivada f '(z).
Analisando está função , podemos notar que teremos duas opções para calcular ela :
Opção 1 (Vamos desenvolver a função e depois calcular a sua derivada)
A primeira opção seria desenvolver ela : f(z)=( 3z+3)^2 .( 3z+3) = 9z^2 +18z+9.( 3z+3), a função desenvolvida será : f(z) = 27z^3+27z^2 +54z^2 +54z+27z+27 = 27z^3 +81z^2 +81z+27
Agora vamos calcular a derivada :
f '(z) = 81z^2 +162z+81
Opção 2 (Vamos aplicar a regra da cadeia)
A segunda opção seria calcular a derivada usando a regra da cadeia que é mais objetiva
f ' (z) = 3.(3z+3)^3-1 .(3z+3)' = 3(3z+3)^2 .3 = 9(3z+3)^2
Mas, o resultado da opção 1 e da opção 2 , são iguais ? claro que sim .
Para provar isso vamos desenvolver o resultado da segunda opção
f ' (z) =9 [(3z+3)(3z+3)] = 9[9z^2 +9z+9z+9] = 9[9z^2+18z+9] =81z^2 +162z+81
Nota importante
Foi por esse tipo de exercício acima supracitado e tantos outros que vamos aprender aqui, que fez com que em 1676 o grande e monstruoso filósofo, cientista, matemático, diplomata e bibliotecário alemão Gottfried Leibniz desenvolvesse a regra da cadeia para calcular a derivada de funções compostas , ou seja :
Se y = f (u) , u = g (x), e as derivadas dy/ du e du/dx existem, ambas , então a função composta definida por y = f [g(x)] tem a derivada dada por : dy/dx ou y ' = f ' [g(x)]. u'
Resumidamente
Este processo se tornará mais claro resolvendo os problemas. Na maioria dos casos, as respostas finais são dadas na sua forma mais simplificada.
Solução
Exemplo 1 - Determinar dy/dx se :
Vamos reescrever essa função
Agora vamos derivar a função
Continuando ...
Finalizando...
É importante saber que para derivadas simples :
E para a regra da cadeia :
Exemplo 2 - Determinar f ' se :
Solução :
Substituindo , vem :
Exemplo 3 - Determinar dy/dx se :
Solução
Temos uma constante dividindo uma função ,e neste caso a ferramenta a utilizar é a regra do recíproco para uma função composta .
Mas a gente tem que saber o seguinte :
Agora sim , vamos substituir na fórmula
Continuando...
Até nesse momento a gente deu um grande passo , mas vamos lá ...
Obs:Já que temos a mesma função no numerador e denominador,cancelamos o numerador e subtraímos o 2 no expoente do denominador porque ele é de maior grau.
Exemplo 4 - Determinar f '(x) se :
Solução : primeiramente ,vamos reescrever a função
Sabendo que :
Teremos o seguinte :
Continuando...
Agora vamos utilizar uma técnica matemática que afirma o seguinte :
voltando ao exercício , teremos :
Finalizando , vem :
Exemplo 5 - Determinar f '(z) se :
Solução
Vamos aplicar a regra do produto que afirma o seguinte :
Substituindo , teremos :
Podemos notar que algo está ficando top, ou seja, estamos no bom caminho
Agora sim ...o exercício está uma beleza
Finalizando...
Exemplo 6 - Determinar f '(v) se :
Solução
Substituindo , teremos:
Agora sim , o exercício está legal ...só falta dar o xeque mate
Exemplo 7: Determinar f '(x) se :
Solução
Temos uma constante , dividindo uma função e para este caso ,vamos utilizar a regra do reciproco.
Continuando o exercício, teremos :
Finalizando o exercício...
Exemplo 8: Calcule f '(x) ,onde :
Solução
Muitissimo obrgdo, me ajudou muito a compreender o k nao compreendia.
ResponderExcluirOlá! ficamos contente em saber que ajudamos você. Conte sempre conosco
ExcluirPeco ajuda como encontrar a equacao da recta tangente ao grafico de f(x)=raiz de x^2+3x+5, passo a passo, favor!
ResponderExcluirPeco ajuda como encontrar a equacao da recta tangente ao grafico de f(x)=raiz de x^2+3x+5, passo a passo, favor!
ResponderExcluirMuitissimo obrgdo, me ajudou muito a compreender o k nao compreendia.
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