Tudo sobre teoria dos conjuntos e exercícios resolvidos de provas

"Ninguém nasce odiando outra pessoa pela cor de sua pele, por sua origem ou ainda por sua religião. Para odiar, as pessoas precisam aprender, e se podem aprender a odiar, podem ser ensinadas a amar".

Nelson Mandela.

O que é um conjunto ?

Um conjunto é uma coleção de elementos que possuem alguma caraterística entre eles , sem importar a ordem em que eles se apresentam. 

Exemplo : O conjunto de todos os esportes(português brasileiro) ou Desportos(português europeu) . O conjunto de todos os números naturais. O conjunto de músicos .

Operações sobre conjuntos (álgebra dos Conjuntos)

União 

A união de conjuntos, é uma operação que reúne todos os elementos dos conjuntos relacionados,sem a necessidade de escrever mais de uma vez os elementos comuns aos conjuntos.

Exemplo 0

A = {2;4;7;8} 

B = {3;4;9;12} 

C = {10;11;15} 

A∪B = {2;3;4;7;8;9;12} 

A∪B∪C = {2;3;4;7;8;9;10;11;12;15} 

Exemplo 1

A = { a ,e ,i ,o,u }

B = { 3, 4 ,200 }

A∪B = { a ,e ,i ,o, u, 3, 4, 200  }

Interseção

A interseção(português brasileiro) ou intersecção(português europeu,falado em outros países como Moçambique,Angola, Cabo verde,São Tomé e Príncipe e Guiné-Bissau) é um conjunto de elementos que, simultaneamente, pertencem a dois ou mais conjuntos, representado por ∩.

Por exemplo, se o conjunto A possui os elementos {30,55,67,71,80} e o conjunto B possui os elementos {55,67,89,94} então, a interseção do conjunto A com o conjunto B será igual a {55,67} . Assim,a interseção simboliza os elementos que os conjuntos possuem em comum.

Esses círculos, discos, esferas ou qualquer coisa que você imagine ser , é um diagrama de Venn que está ilustrando a interseção de dois conjuntos.

Diferença entre dois conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
O conjunto diferença é representado por A – B.

Exemplo 0

A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é:
A – B = {1,2}

Exemplo 1

A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é:
A – B = {1,2,3,4,5}

  

Princípio da Inclusão e Exclusão

Este princípio nos ensina como contar o número de elementos da união de uma quantidade finita de conjuntos finitos. Começaremos analisando o princípio para dois e três conjuntos.

Através desse princípio, vamos calcular o número de elementos resultantes da operação entre conjuntos. Representando por n(A) o número de elementos que temos no conjunto A, n(B) o número de elementos no conjunto B e assim por diante, as operações entre conjuntos, podem ser feitas em termos mais usuais.


Este resultado só pode ser aplicado quando A e B são disjuntos, ou seja, quando A∩B=0.

Neste segundo caso, muito usual em exercícios sobre conjuntos , fizemos a soma dos elementos pertencentes em A com os elementos pertencentes em B, e subtraímos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e B, ou seja, foram contados duas vezes .

Exercício 1

Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}:

Solução

Sabendo que há elementos que pertencem a ambos, temos que:

Exercício 2

Numa região, 60% das espécies de pássaros voam predominantemente na área urbana; 80% voam predominantemente na área de proteção permanente vizinha; e todo pássaro da região voa pelo menos numa dessas duas áreas. Qual é o percentual de pássaros que voam nas duas áreas ?

Solução

Primeiramente ,vamos esboçar todos os dados que temos no exercício .

Para começar a resolver , temos que saber que a união dos dois conjuntos vai ser 100%,ou seja, A∪B=100%.

Já que temos a interseção de dois conjuntos , vamos utilizar a fórmula :

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

Substituindo , teremos :

100% = 60% + 80% -  n(A∩B) 

100% = 140% -  n(A∩B) 

140% -  n(A∩B) = 100%
-  n(A∩B) = 100% - 140%
-  n(A∩B) = - 40%
n(A∩B) = 40%

Resposta : A porcentagem dos pássaros  que voam nas duas áreas é de 40%

Exercício 3

Em um estado , 720 escolas assinam pelo menos um jornal A e B , e 268 dessas escolas assinam apenas o jornal B. Com relação a essa situação, julgue os itens subsequentes .

a) Se 284 escolas assinam apenas o jornal A, então quantas assinam A e B ?

Resposta : Dentre as 720 escolas , 168  assinam os dois jornais

Exercício 4

Numa escola de crianças existem 20 meninas, 21 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 4 meninas ruivas. Quantos são: a) Os meninos ruivos? b) As meninas não ruivas? c) As crianças na escola? 

Solução

Dados 

Total de meninas = 20
Total de crianças ruivas = 21
Total de meninos não ruivos = 13
Total de meninas ruivas = 4

 a)  Os meninos ruivos 

Já que queremos calcular os meninos ruivos , vamos pegar o total  de crianças ruivas que é igual a 21 e fazer a seguinte lógica :

Meninos ruivos + meninas ruivas = 21
Meninos ruivos + 4 = 21
Meninos ruivos  = 21 - 4 = 17

Resposta : das 21 crianças ruivas , 17 são meninos

b) As meninas não ruivas 

Sabendo que o número total de meninas é igual a 20 , teremos :

Meninas ruivas + meninas não ruivas = 20
                      4 + meninas não ruivas = 20
                            meninas não ruivas = 20 - 4 = 16

c) As crianças  na escola ?

Para sabermos quantas crianças tem na escola , temos que fazer o somatório de meninas e meninos .

Total de crianças = total de meninos + total de meninas

Total de crianças = (13 não ruivos + 17 ruivos ) + 20 meninas

Total de crianças = 50

Exercício 5

Num avião temos 20% de Argentinos 85% de não Paraguaios e 70% de não Chilenos e o resto de Brasileiros. Qual a porcentagem dos que: a) São brasileiros? b) São Argentinos ou Paraguaios?

Solução

a) Qual é a porcentagem dos que são brasileiros ?

Vamos fazer algumas suposições para facilitar os cálculos

Se 20% são Argentinos , então 80% não são Argentinos ;

Se 85% não são Paraguaios , então 15% são Paraguaios  ;

Se 70% não são Chilenos ,então 30 % são Chilenos  ;

Desse modo , o somatório de todas as nacionalidades vai ter que ser igual a 100%, ou seja :

Argentinos + Paraguaios + Chilenos + Brasileiros = 100 %
20% + 15% + 30% + Brasileiros = 100 %
                        65% + Brasileiros = 100%
                                    Brasileiros = 100% - 65% = 35%

Resposta : 35% dos que estão nesse avião são Brasileiros

b)  Qual é a porcentagem dos que são Argentinos ou Paraguaios ?

Neste problema , temos que saber que a expressão " ou " significa que vamos somar as duas nacionalidades , ou seja, a porcentagem dos que são Argentinos + a porcentagem dos que são Paraguaios .

20% + 15 % = 35 %

Resposta : 35% dos que estão nesse avião são Argentinos ou Paraguaios

Exercício 6

Numa classe de 33 alunos, 20 falam inglês e 12 falam francês. Desses alunos 3 não falam nem inglês nem francês. Quantas falam ambas as línguas?

Solução

Se dos 33 alunos, 3 não falam as duas línguas , o total de alunos que falam inglês e francês será : 33-3 = 30 .

Temos dois conjuntos :  inglês e francês e queremos calcular os que falam as duas línguas ,ou seja, n(I∩F).

Sempre que temos uma interseção entre dois conjuntos , a fórmula à utilizar será essa :

n(I∪F) = n(I) + n(F) - n(I∩F)

Substituindo , teremos : 

30 = 20 + 12 - n(I∩F)

30 = 32 - n(I∩F)

32 - n(I∩F) = 30

- n(I∩F) = 30 - 32

- n(I∩F) = - 2   n(I∩F) = 2  alunos

Exercício 7

Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 de História. Quantos gostam de Matemática e de História?

Solução

A gente quer saber  a quantidade de pessoas que gostam das duas matéria,ou seja, vamos calcular a interseção . n(M∩H) = ?

Vamos fazer o diagrama de Venn

Substituindo na fórmula , teremos :

30 = 16 + 20 - n(M∩H)

30 = 36 - n(M∩H)

 36 - n(M∩H) = 30
- n(M∩H) = 30 - 36
- n(M∩H) = - 6
 n(M∩H) = 6

Exercício 8

Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram Y e, 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma?

Solução

Para calcular o total de pessoas que não comeram nenhuma sobremesa , temos que calcular o total de pessoas que comeram através do diagrama de Venn.

Ou

n(x∪y) = n(x) + n(y) - n(x∩y)  

n(x∪y) =  5 + 7 - 3

n(x∪y) =  9

Se no total, 9 pessoas comeram , então : somente uma pessoa não comeu 

Resposta:  1

Exercício 9

Sabendo-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal Secret, 150 liam o jornal Fashion, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos jornais, determine o número de pessoas que foram consultadas.

Solução

Para calcular  o número pessoas que foram consultadas, temos que calcular  o número total de pessoas que liam os jornais  através do diagrama de Venn e depois vamos somar com as 110 pessoas que não liam nenhum dos jornais.

Ou

n(S∪F) = n(S) + n(F) - n(S∩F)  

n(S∪F) =  100 + 150 - 20

n(S∪F) =  230 pessoas liam os jornais 

Total de pessoas entrevistadas = total de pessoas que liam + total de pessoas que não liam

Total de pessoas entrevistadas = 230 + 110 = 340

Exercício 10

Marcos Paulo vai a um restaurante de frutos do mar que oferece 180 pratos diferentes em seu cardápio. Destes, 72 são à base de camarão e 65 são à base de moluscos. Temos também os pratos que utilizam os dois componentes em seu preparo, que são em número de 32. Se Marcos Paulo é alérgico tanto a camarão quanto a moluscos, pergunta-se: "Quantos pratos do cardápio deste restaurante ele pode consumir"?

Solução

Vamos denotar por Z , o nosso conjunto universo .

Desse jeito ,temos que Z={pratos do restaurante }

Sabemos que o número total de pratos é : n(Z) = 180

Agora vamos definir ,dois subconjuntos de Z :

A ={pratos à base de camarão} então,  n(A) = 72
 B ={pratos à base de moluscos} então , n(B) = 65

Além disso, temos: A∩B ={pratos à base de camarão e moluscos} então, n(A∩B) = 32 , ou seja, os conjuntos A e B não são disjuntos.

Agora, vamos representar estes conjuntos através do diagrama de Venn

Observemos que os pratos que Marcos Paulo não pode ingerir são aqueles que levam camarão ou molusco em seu preparo, ou seja, os pratos que compõem o conjunto A∪B.

Quando fizermos a soma n(A) + n(B) , estaremos contando os elementos de A∩B duas vezes, pois os pratos que levam camarão e moluscos, logicamente, serão contados em n(A) e em n(B). Para resolver este problema, basta subtrair n(A∩B) da soma acima. Assim, temos que: 

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) 

n(A∪B) = 72 + 65 - 32 = 105

Desse modo, os pratos deste restaurante que levam camarão ou moluscos em sua composição são em número de 105. Estes são, exatamente, os pratos que Marcos Paulo não pode consumir. Se queremos saber o número de pratos que ele pode escolher, basta tomar o total e subtrair os que não convêm: n(Z) - n(A∪B) =180 - 105 = 75 .

Resposta :  concluímos que Marcos Paulo tem 75 opções de escolha no cardápio deste restaurante.

Exercício 11

Uma pesquisa de opinião, realizada em Salvador-Bahia , apresentou o seguinte resultado: 65% dos entrevistados frequentavam a praia do Farol da Barra, 55% frequentavam a praia do Buracão e 15% não iam à praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que frequentavam ambas as praias era de: 

A) 19,6% 

B) 35% 

C) 38,5% 

D) 28% 

Solução

Farol da Barra = Fb
Buracão = Bur

Calcular os que frequentavam ambas as praias ,é calcular a interseção ,ou seja, n(Fb∩Bur).

Sempre que você for calcular a interseção entre dois conjuntos,utilize a fórmula :
n(Fb∪Bur) = n(Fb) + n(Bur) - n(Fb∩Bur)

A gente sabe que 15% das pessoas não iam à praia, então : o total de pessoas que iam à praia é de 85% .

Substituindo os valores , temos :

85% = 65% + 55% -  n(Fb∩Bur)
85% = 120% -  n(Fb∩Bur)
120% -  n(Fb∩Bur) = 85%
          -  n(Fb∩Bur) = 85% - 120%
          -  n(Fb∩Bur) = -35%
         -  n(Fb∩Bur) = 35%

Resposta : Dos entrevistados, 35%  frequentavam ambas as praias.

Faça o simulado 

Questão 1

Em um exame de vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas .Dentre esses candidatos,20% optaram pelo curso de Direito . Do total dos candidatos,qual era a porcentagem dos que optaram por Direito.

a) 15%
b)10%
c)6%
d)9%

Dica

Se 30% dos candidatos de Humanas , 20% deles optaram pelo curso de Direito, é só ver essa pergunta como sendo, quanto é 30% de 20% .

SOLUÇÃO

Questão 2

Uma pesquisa realizada com 100 pessoas em uma pizzaria, revelou que destas, 70 gostam de pizzas salgadas, 20 gostam de pizzas salgadas e doces. Quantas foram as pessoas que responderam que gostam apenas de pizzas doces?

a) 45

b)57

c)33

d) 30

Dicas
- Faça o desenho do diagrama de Venn correspondente.

- Ao Representar a situação na forma de diagrama, retire a interseção de cada conjunto para saber exatamente as  pessoas que gostam apenas de pizza doce.

SOLUÇÃO