Exercícios resolvidos sobre probabilidade condicional

A probabilidade condicionada refere-se à probabilidade de um evento A sabendo que ocorreu um outro evento B e representa-se por P(A|B), que lê-se : probabilidade condicional de A dado B ou ainda probabilidade de A dependente da condição B.

Para entender o conceito de probabilidade condicional vamos estudar a diferença entre extrair uma peça de um lote com reposição e sem reposição.

Exemplo: Um lote de 100 peças, contém 20 peças defeituosas e 80 peças não defeituosas. Suponha-se que escolhemos duas peças desse lote e vimos que a primeira peça é defeituosa e a segunda também.

Definamos os dois eventos.

A={a primeira peça é defeituosa}; B={a segunda peça é defeituosa}

Se a gente analisar com reposição

P(A)=P(B)=20/100=1/5 por que cada vez que extraímos do lote existirão 20 peças defeituosas no total de 100, ou seja, tiramos a primeira peça e vimos que é defeituosa colocamos no lote ficando 20 peças defeituosas novamente e pegamos a outra e também colocamos, o que faz com a probabilidade de pegar uma peça defeituosa seja sempre 20/100=1/5.

No entanto, se estivermos extraindo sem reposição, as coisas começam a mudar.

A probabilidade de tirar a primeira peça continuará sendo P(A)=1/5, Mas e P(B)? É evidente que para calcularmos P(B), devemos conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça, ou seja, devemos saber se A ocorreu ou não.

Este exemplo mostra a necessidade de introduzir um novo e importante conceito.

Sejam A e B dois eventos associados a um experimento denotaremos por P(B/A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido.

No exemplo acima, P(B/A)=19/99 por que se A tiver ocorrido, então para a segunda extração teremos somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas porque a peça que retiramos na primeira oportunidade foi defeituosa.

Sempre que calculamos P(B/A), estaremos calculando P(B) em relação ao espaço amostral reduzido A, em vez de calcular em relação ao espaço amostral original S. 

Definição

Definimos a probabilidade condicional de A, dado que B ocorre (A|B) da seguinte maneira :

Do mesmo jeito que podemos calcular a probabilidade condicionada de A, dado que B ocorreu (A|B), também podemos calcular, a probabilidade condicionada de B dado que A ocorre (B|A) da seguinte maneira: 

Exercício 1

Sejam cartões numerados de 1 a 10 em uma urna e misturadas. Retiramos um cartão.Se o número do cartão é no mínimo 5, qual a probabilidade que ele seja 10?

Solução

Já que temos dez bolas na urna , o espaço amostral(S) será : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

Agora, o nosso espaço amostral reduzido A, vai agregar os números que não sejam inferiores a 5 , ou seja : A ={5,6,7,8,9,10}.

Podemos notar que n(A) vai ser igual a 6 elementos .

O nosso evento B vai ser a probabilidade de que o número retirado seja o 10 :  n(B) = 10

O próximo passo  é responder a seguinte pergunta .

Quanto são os elementos que pertencem em A e B ao mesmo tempo,ou seja,a interseção entre eles ?

Resposta : 1 elemento (Que é o número 10)

 Substituindo na fórmula, teremos :

Exercício 2

Suponha-se que um escritório possua 100 máquinas de calcular. Algumas dessas máquinas são elétricas (E), enquanto outras são manuais (M); e algumas são novas (N), enquanto outras são muito usadas (U). Uma pessoa entra no escritório, pega uma máquina ao acaso, e descobre que é nova. Qual será a probabilidade de que seja elétrica?

 A tabela abaixo dá o número de máquinas de cada categoria. 

Solução

Em termos da notação introduzida, desejamos calcular P(E|N),ou seja, a probabilidade de que a peça seja elétrica sabendo que ela é nova.

O nosso espaço amostral reduzido , é sempre aquele que a gente conhece, ou seja, como a gente sabe que a peça é nova então : o espaço amostral reduzido N será igual a 70.

Primeiro método

Segundo método

Empregando a definição de probabilidade condicionada,temos que :

Exemplo 3

Em uma escola com 250 alunos, 100  são homens(H) e 150 são mulheres(M). Dentre esses alunos 110 cursam física(F), sendo 40 homens e 70 mulheres. 140 cursam química(Q) sendo 60 homens e 80 mulheres.
Um aluno é sorteado do acaso. Qual é a probabilidade de que esteja cursando química dado que é mulher?

Solução:

A probabilidade de que um aluno esteja cursando química dado que é mulher é representado por:

Continuando...


Exemplo 4

Numa dada cidade, tem-se a seguinte situação:



Sejam os eventos:

H= um homem é escolhido
E= o escolhido está empregado

Qual a probabilidade de um homem ser escolhido, dado que está empregado?

Solução:

O que a gente sabe neste problema, é que a pessoa está empregado, ou seja, o nosso espaço amostral reduzido E vai ser igual a 600(total de empregados). Então :

Primeiro método

Segundo método

Empregando a definição de probabilidade condicionada,temos que :

Exemplo 5

Em janeiro de 2008, na festa de aniversário (50 anos) do professor “KLOWIS”, batizado “KROVES”, mestre em Biologia, houve um sorteio de um determinado prêmio. Os bilhetes foram numerados de 1 a 50. Entretanto, foi anunciado que o número sorteado era par. Se o professor “Marcelo Renato”, convidado-irmão, só tinha 4 bilhetes pares, qual era a probabilidade em %, do professor “Marcelo Renato” NÃO ser sorteado?

Solução

É notório que o espaço amostral S é igual ao número total de bilhetes,ou seja, S= 50.

Como já fomos informados de que o número sorteado é PAR podemos reduzir o nosso espaço amostral “S” para “S1”, onde S1 = (2,4,6,8,10,12,14,16,18,..,50),ou seja,S1=25.

Com 4 números pares , o professor Marcelo Renato, , tem a probabilidade de ser sorteado em 4 dos 25 números pares,ou seja,4/25 , porém, a sua probabilidade de não ser sorteado será :

Vale lembrar que a probabilidade de ser sorteado mais a probabilidade de não ser sorteado tem que ser igual a 1 (100%)

Exemplificando....

Ser + não ser = 1

          não ser = 1- ser

Teorema da multiplicação para probabilidade condicional 

A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é dada pelo produto da probabilidade de um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro evento, este teorema é resultado da multiplicação em cruz das equações da probabilidade condicional.

Então:

Exemplo 6

Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Três peças são  retiradas aleatoriamente, uma após a outra. Encontre a probabilidade (p) de todas essas três peças serem não-defeituosas.

Solução

Sabendo que temos 4 peças defeituosas, então, 8 peças são não defeituosas(perfeitas).

A probabilidade de a primeira peça ser não-defeituosa é 8/12, já que 8 das 12 peças são não-defeituosas. Se a primeira peça é não-defeituosa, então a probabilidade da próxima ser não-defeituosa é 7/11, pois somente 7 das 11 peças restantes são não-defeituosas. Se as duas primeiras são não-defeituosas, então a probabilidade da última ser não-defeituosa é 6/10, já que somente 6 das 10 restantes são não-defeituosas. Então, pelo Teorema da Multiplicação.